%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$p$ を有理数とし，次の関係をもつ $x_n$，$y_n$ を座標にもつ平面上の点 
$\text{P}_n$（$n=1$，2，$\cdots$）を考える；\\
　　　　$x_{n+1}=x_n+p(y_{n+1}+y_n)$，$y_{n+1}=y_n-p(x_{n+1}+x_n)$\\
　いま，$x_1$，$y_1$ がともに有理数で，かつ $\text{P}_1$ は原点でないと
する．このとき，すべての $x_n$，$y_n$ は有理数であり，点 $\text{P}_n$ は
原点を中心とする定円上にあることを示せ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$x_1$、$y_1$は有理数である。\\
$x_k,y_k$がともに有理数であるとすると\\
$x_{k+1}=x_k+p(y_{k+1}+y_k)$
$y_{k+1}=y_k-p(x_{k+1}+x_k)$
より\\
$x_{k+1}-py_{k+1}=x_k+py_k$
$px_{k+1}+y_{k+1}=y_k-px_k$
となり\\
有理数の積と和は有理数なので\\
$x_{k+1}-py_{k+1}$と$y_{k+1}+px_{k+1}$は有理数\\
$x_{k+1}-py_{k+1}=q$と$px_{k+1}+y_{k+1}=r$($q,r$は有理数)とすると\\
$q+pr=x_{k+1}-py_{k+1}+p^2x_{k+1}+py_{k+1}=x_{k+1}+p^2x_{k+1}=(1+p^2)x_{k+1}$となり\\
$1+p^2>0$より\\
$x_{k+1}=\dfrac{q+pr}{1+p^2}$\\
となって、$x_{k+1}$は有理数\\
同様に$r-pq=(1+p^2)y_{k+1}$となり$y_{k+1}$も有理数。\\
以上より数学的帰納法により$x_n,y_n$は有理数。\\
$q=x_k+py_k$,$r=y_k-px_k$とすると\\
上述の通り\\
$x_{k+1}=\dfrac{q+pr}{1+p^2}$\\
$y_{k+1}=\dfrac{r-pq}{1+p^2}$\\
となり\\
${x_{n+1}}^2+{y_{n+1}}^2$を計算すると\\
\begin{eqnarray*}
{x_{n+1}}^2+{y_{n+1}}^2&=&\left(\dfrac{q+pr}{1+p^2}\right)^2+\left(\dfrac{r-pq}{1+p^2}\right)^2\\
&=&\dfrac{1}{(1+p^2)^2}((q+pr)^2+(r-pq)^2)\\
&=&\dfrac{1}{(1+p^2)^2}(q^2+p^2r^2+r^2+p^2q^2)\\
&=&\dfrac{1}{(1+p^2)^2}((1+p^2)(q^2+r^2))\\
&=&\dfrac{1}{1+p^2}(q^2+r^2)\\
&=&\dfrac{1}{1+p^2}((x_n+py_n)^2+(y_n-px_n)^2)\\
&=&\dfrac{1}{1+p^2}({x_n}^2+p^2{y_n}^2+{y_n}^2+{px_n}^2)\\
&=&\dfrac{1}{1+p^2}(1+p^2)({x_n}^2+{y_n}^2)\\
&=&{x_n}^2+{y_n}^2\\
\end{eqnarray*}
よって数学的帰納法より$|\text{OP}_n|=|\text{OP}_1|$\\
したがって$P_n$は定円上にある。\\

証明終了
\end{document}
