%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$ を正の定数とする．放物線 $C_a:y=x^2-a^2$ 上の点Pから放物線 
$C:y=x^2$ に引いた2本の接線の接点をQ，Rとするとき，線分QRと $C$ とで囲ま
れた部分の面積は，Pの取り方に無関係であることを示せ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$C_a$上の点$P=(p,p^2-a^2)$とする。\\
$C$の接線の方程式は\\
$f(x)=x^2$とすると$f'(x)=2x$なので\\
$x=b$の時の接線は$y=2bx-b^2$\\
この接線が$P$を通る時の$b$の値は\\
$p^2-a^2=2bp-b^2$を満たすので\\
$b=p-a,p+a$となる。\\
Qの$x$座標がRより小さいと仮定しても一般性を失わないので\\
Q,RはQ$=(p-a,(p-a)^2)$,R$=(p+a,(p+a)^2)$となる。\\
したがてQRの式は
$y=2px+(a^2-p^2)$\\
この線分と$C$の囲む部分の面積を$S$とすると\\
\begin{eqnarray*}
S&=&\dint_{p-a}^{p+a} -x^2+2px+(a^2-p^2)\,dx\\
&=&\Bigl[-\dfrac{1}{3}x^3+px^2+(a^2-p^2)x\Bigr]_{p-a}^{p+a}\\
&=&-\dfrac{1}{3}(p+a)^3+p(p+a)^2+(a^2-p^2)(p+a)-(-\dfrac{1}{3}(p-a)^3+p(p-a)^2+(a^2-p^2)(p-a))\\
&=&
-\dfrac{1}{3}((p+a)^3-(p-a)^3)
+p(p+a)^2-p(p-a)^2
+(a^2-p^2)((p+a)-(p-a))\\
&=&
-\dfrac{1}{3}(6ap^2+2a^3)
+p((p+a)^2-(p-a)^2)
+2a(a^2-p^2)\\
&=&
-2ap^2
-\dfrac{2a^3}{3}
+p(4ap)
+2a^3-2ap^2\\
&=&
-2ap^2
-\dfrac{2a^3}{3}
+4ap^2
+2a^3-2ap^2\\
&=&
\dfrac{a^3}{3}
\\
\end{eqnarray*}
となり$a$にのみ依存し$P$のとり方には関係ない。\\
証明終了
\end{document}
