%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　6人が円陣を作ってすわり，次のゲームをする；
\begin{enumerate}
 \item　最初，交互に赤と白の帽子をかぶり，隣り合う2人ずつの3つの組を作
      る．各組でジャンケンをし，負けた人は勝った人と同色の帽子をかぶる．
 \item　6人が同色の帽子にならない場合，隣り合う異なる色の帽子をかぶった2
      人ずつが組を作り，各組でジャンケンをし，負けた人は勝った人と同色の
      帽子をかぶる．（両隣が自分と同色の帽子の人はジャンケンをしない．）
 \item　ゲームは，6人の帽子が同色になれば終了とし，それまで何回か(ii)を
      繰り返す．
\end{enumerate}
　このとき，$n$ 回までにゲームが終了する確率を求めよ．ただし，ジャンケン
では一方が勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ で勝負がつくものとする．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
赤の帽子の数$r$、白の帽子の数$w$とする。\\
また、赤の帽子をR,白の帽子をWと書く
当然、$r+w=6$\\
二つの要素の大きくない方を取り出す関数。$\min(a,b)$を定義する。\\
$\min(r,w)=3$のとき(つまり、$r,w$が等しいとき)\\
帽子のかぶりかたは(RWRWRW),(RRWRWW),(RRWWRW),(RRRWWW)のいずれかを回転したものとなる。\\
また、(RRWWRW)は(WWRWRR)のWRを入れ換えたものに等しいので、RWは対等なのでおなじものとみなしてよい\\
よって異なる組合せは(RWRWRW),(RRWRWW),(RRRWWW)の３通り\\
ジャンケンが行われる組はそれぞれ\\
(RWRWRW) 3組\\
(RRWRWW) 3組\\
(RRRWWW) 2組\\
となる。\\
１組のジャンケンでrの増減は1なので３組ジャンケンすると$\pm 1,\pm 3$となる。\\
したがって$\min(r,w)=2,0$のいずれかとなる。\\
２組ジャンケンが行われる場合は$\pm 2$となり$\min(r,w)=1$となる。\\

次に$\min(r,w)=2$の時を考える。\\
このときかぶりかたは(RRWWWW),(RWRWWW),(RWWRWW)の３通りとなり\\
それぞれについて２組のジャンケンが行われる。\\
２組のジャンケンが行われる場合rの増減は$0,\pm 2$となり\
$\min(r,w)=0,2$のいずれかとなる。\\
始めのならびはRWRWRWなので$\min(r,w)=3$からスタートし\\
$\min(r,w)$は2または0にしかならない。\\
$\min(r,w)=2$の時もやはりジャンケンの後の$\min(r,w)$は0,2にしかならないので\\
２回目以降は$\min(r,w)$が2のとき$\min(r,w)$が0にならなければゲームは継続する。\\
１回目のジャンケンの結果$\min(r,w)=2$になる確率は\\
３組のジャンケンですべてがおなじ色の方が勝たない場合なのですべておなじ色が勝つ可能性はすべてRまたはすべてWの二種類なので\\
$1-\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{4}$\\
２回目以降は２組のジャンケンで勝つ色が異なる場合なので$\dfrac{1}{2}$\\
よって$n$回まで継続する確率は\\
$n=1$のとき1\\
$n=2$のとき$\dfrac{3}{4}$\\
$n>3$のとき$\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$\\
したがって$n$回までにゲームが終了する確率は
$n+1$回まで継続する確率の逆なので
$$1-\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
証明終了
\end{document}

