%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　座標平面上で，点 $(4,5)$ を通る直線が放物線 $y=\dfrac{1}{4}x^2$ と2点P，
Qで交わっているとき，線分PQの長さが最小となるような直線の傾きと，そのと
きの線分PQの長さを求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\

$(4,5)$を通る直線の方程式を$y=ax+c$としたとき$a=0$の場合放物線と１点でしか交わらないので$a\neq 0$\\
よって$y=ax-(4a-5)\;(a \neq 0)$と表せる。\\
この直線と$y=\dfrac{1}{4}x^2$の交点は
$f(x)=\dfrac{1}{4}x^2-ax+(4a-5)=0$となる$x$座標をもつ。\\
その$x$を$\alpha,\beta$とすると
そのときの$y$座標は$a\alpha-(4a-5)$,$a\beta-(4a-5)$なので\\
２点間の距離を$l$とすると$l^2=(\alpha-\beta)^2+(a\alpha-(4a-5)-a\beta-(4a-5))^2$\\
$l>0$なので$l$が最小となるとき$l^2$も最小とならねばならないので\\
$(\alpha-\beta)^2+(a\alpha -(4a-5)-(a\beta-(4a-5)))^2$が最小となる$a$の値が求める傾きとなる。\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(\alpha-\beta)^2+(a\alpha -(4a-5)-(a\beta-(4a-5)))^2}\\
&=&\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2+(a\alpha-a\beta)^2\\
&=&\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2+a^2\alpha-a^2\alpha\beta+a^2\beta^2\\
&=&(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta+a^2((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta)\\
&=&(1+a^2)((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta)
\end{eqnarray*}
$\alpha+\beta=4a$
$\alpha\beta=4(4a-5)$より\\
\begin{eqnarray*}
l^2&=&(1+a^2)((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta)\\
&=&(1+a^2)((4a)^2-16(4a-5))\\
&=&(1+a^2)((4a)^2-16(4a-5))\\
&=&16(1+a^2)(a^2-4a+5)\\
&=&16(a^4-4a^3+6a^2-4a+5)
\end{eqnarray*}
$f(a)=a^4-4a^3+6a^2-4a-5$とおくと\\
$f'(a)=4a^3-12a^2+12a-4=4(a^3-3a^2+3a-1)=4(a-1)^3$\\
よって$f(x)$は$a=1$において最小となる4次式\\
よって傾き$a=1$のとき最小となって\\
$l^2=16(2)(2)=64$\\
$l>0$より$l=8$\\
以上より
$$\text{傾き}=1$$
$$\text{長さ}=8$$
証明終了
\end{document}
