%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　空間の，同一平面上にない4点O，A，B，Cを考える．線分OA，AB，BC，COの上
にそれぞれ点$\text{P}_1$，$\text{P}_2$，$\text{P}_3$，$\text{P}_4$があっ
て$\text{P}_1\text{P}_2\text{P}_3\text{P}_4$が平行四辺形をなすものとする．
このとき次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
 \item　$|\Vec{\text{OP}_1}|:|\Vec{\text{P}_1\text{A}}|=k:(1-k)$，
      $|\Vec{\text{AP}_2}|:|\Vec{\text{P}_2\text{B}}|=(1-l):l$，
      $|\Vec{\text{BP}_3}|:|\Vec{\text{P}_3\text{C}}|=m:(1-m)$，
      $|\Vec{\text{CP}_4}|:|\Vec{\text{P}_4\text{O}}|=(1-n):n$ とすれば，
      $k=l=m=n$ であることを示せ．\\
　ただし，$|\quad|$ はベクトルの大きさを表わす．
 \item　平行四辺形$\text{P}_1\text{P}_2\text{P}_3\text{P}_4$の対角線の交
      点は，線分OB，ACのそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$|\Vec{\text{OP}_1}|:|\Vec{\text{P}_1\text{A}}|=k:(1-k)$より\\
$\tvec{OP}_1=k\tvec{OA}$\\
$\tvec{OP}_2=l\tvec{OA}+(1-l)\tvec{OB}$\\
$\tvec{OP}_3=(1-m)\tvec{OB}+m\tvec{OC}$\\
$\tvec{OP}_4=n\tvec{OC}$\\
となる。\\
$\text{P}_1\text{P}_2\text{P}_3\text{P}_4$が平行四辺形をなすので\\
$\text{P}_1\text{P}_2 /\!\!/ \text{P}_3\text{P}_4$\\
$\text{P}_2\text{P}_3 /\!\!/ \text{P}_4\text{P}_1$\\
$|\text{P}_1\text{P}_2|= |\text{P}_3\text{P}_4|$\\
$|\text{P}_2\text{P}_3|= |\text{P}_4\text{P}_1|$\\
である。\\
よって\\
$\overrightarrow{\text{P}_1\text{P}_2}= \overrightarrow{\text{P}_4\text{P}_3}$\\
$\overrightarrow{\text{P}_2\text{P}_3}= \overrightarrow{\text{P}_1\text{P}_4}$\\
となる。\\
$\overrightarrow{\text{P}_1\text{P}_2}=l\tvec{OA}+(1-l)\tvec{OB}-k\tvec{OA}$\\
$\overrightarrow{\text{P}_4\text{P}_3}=(1-m)\tvec{OB}+m\tvec{OC}-n\tvec{OC}$\\
より\\
$l\tvec{OA}+(1-l)\tvec{OB}-k\tvec{OA}=(1-m)\tvec{OB}+m\tvec{OC}-n\tvec{OC}$\\
また\\
$\overrightarrow{\text{P}_2\text{P}_3}=(1-m)\tvec{OB}+m\tvec{OC}-l\tvec{OA}-(1-l)\tvec{OB}$\\
$\overrightarrow{\text{P}_1\text{P}_4}=n\tvec{OC}-k\tvec{OA}$\\
より\\
$(1-m)\tvec{OB}+m\tvec{OC}-l\tvec{OA}-(1-l)\tvec{OB}=n\tvec{OC}-k\tvec{OA}$\\

よって\\
\begin{eqnarray*}
l\tvec{OA}+(1-l)\tvec{OB}-k\tvec{OA}-(1-m)\tvec{OB}-m\tvec{OC}+n\tvec{OC}=0\\
(l-k)\tvec{OA}+(m-l)\tvec{OB}+n-m\tvec{OC}=0\\
(1-m)\tvec{OB}+m\tvec{OC}-l\tvec{OA}-(1-l)\tvec{OB}=n\tvec{OC}-k\tvec{OA}\\
(k-l)\tvec{OA}+(l-m)\tvec{OB}+(m-n)\tvec{OC}=0\\
\end{eqnarray*}
OABCは同一面上にはないので$\tvec{OA}$と$\tvec{OB}$では$\tvec{OC}$を表すことはできない\\
$\tvec{OA},\tvec{OB},\tvec{OC}$のうちの二つでは残りのベクトルを表すことはできない。\\
したがって
$(l-k)\tvec{OA}+(m-l)\tvec{OB}+n-m\tvec{OC}=0$
$(k-l)\tvec{OA}+(l-m)\tvec{OB}+(m-n)\tvec{OC}=0$
より$l=k,m=l,n=m$である。
以上より$k=l=m=n$となる。\\
2.\\
$\text{P}_1\text{P}_2\text{P}_3\text{P}_4$の対角線上の点は\\
$a\tvec{OP}_1+(1-a)\tvec{OP}_3$,$b\tvec{OP}_2+(1-b)\tvec{OP}_4$と表せる。\\
したがってこの交点のベクトルは\\
$a\tvec{OP}_1+(1-a)\tvec{OP}_3=b\tvec{OP}_2+(1-b)\tvec{OP}_4$\\
となる$a,b$の値をもつ。\\
$\tvec{OP}_1=k\tvec{OA}$\\
$\tvec{OP}_2=k\tvec{OA}+(1-k)\tvec{OB}$\\
$\tvec{OP}_3=(1-k)\tvec{OB}+k\tvec{OC}$\\
$\tvec{OP}_4=k\tvec{OC}$\\
より\\
\begin{eqnarray*}
a\tvec{OP}_1+(1-a)\tvec{OP}_3&=&b\tvec{OP}_2+(1-b)\tvec{OP}_4\\
ak\tvec{OA}+(1-a)((1-k)\tvec{OB}+k\tvec{OC})-b(k\tvec{OA}-(1-k)\tvec{OB})-(1-b)k\tvec{OC}&=&0\\
ak\tvec{OA}+(1-a)(1-k)\tvec{OB}+(1-a)k\tvec{OC}-bk\tvec{OA}-b(1-k)\tvec{OB}-(1-b)k\tvec{OC}&=&0\\
(a-b)k\tvec{OA}+(1-a-b)(1-k)\tvec{OB}+(b-a)k\tvec{OC}=0\\
\end{eqnarray*}
よって\\
$a-b=0$
$1-a-b=0$
よって$a=b=\dfrac{1}{2}$\\
よって交点のベクトルは\\
$\dfrac{1}{2}\tvec{OP}_1+\dfrac{1}{2}\tvec{OP}_3=\dfrac{1}{2}k\tvec{OA}+\dfrac{1}{2}((1-k)\tvec{OB}+k\tvec{OC})$\\
$\text{OB},\text{AC}$の中点を結ぶ線分上の点は$(1-c)\dfrac{1}{2}\tvec{OB}+c\dfrac{1}{2}(\tvec{OA}+\tvec{OC})$と表せる。\\
$c=k$とするとこのベクトルは一致するので\\
平行四辺形$\text{P}_1\text{P}_2\text{P}_3\text{P}_4$の対角線の交点は，線分OB，ACのそれぞれの中点を結ぶ線分上にある。\\

証明終了
\end{document}
