%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$k$ は定数，$m$ は一つの自然数とする．\\
　$x>0$ のとき，つねに $x^m-1\leqq k(x^{m+1}-1)$ であるならば，
$k=\dfrac{m}{m+1}$ であることを示せ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$x^m-1\leqq k(x^{m+1}-1)$ならば\\
$x=1$のとき\\
$x^m-1=0 \leqq 0=k(x^{m+1}-1)$となり任意の$k$で成立するので$x\neq 0$の時のみ考えればよい\\
$k\leqq 0$ならば$x>1$のとき$x^m-1 >0$かつ$k(x^{m+1}-1)<0$となり条件が成立しないので\\
$k$がすべての$x$で条件を満たすとすると少なくとも$k>0$でなければならない。\\
よって$k>0$とする。\\
$x<1$のとき\\
$(x^{m+1}-1)<0$なので
\begin{eqnarray*}
x^m-1 &\leqq& k(x^{m+1}-1)\\
\dfrac{x^m-1}{x^{m+1}-1} &\geqq& k\\
\dfrac{(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1}{(x-1)(x^m+x^{m-1}+\cdots+1)} &\geqq& k\\
\dfrac{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1}{x^m+x^{m-1}+\cdots+1} &\geqq& k
\end{eqnarray*}

$k>0$なので\\
\begin{eqnarray*}
\dfrac{x^m+x^{m-1}+\cdots+1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1} &\leqq& \dfrac{1}{k}\\
x+\dfrac{1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1} &\leqq& \dfrac{1}{k}
\end{eqnarray*}
$x<1$より$x^k<1$なので$x^{m-1}+x^{m-1}+\cdots+1<m$\\
$x+\dfrac{1}{x^{m-1}+x^{m-1}+\cdots+1}>x+\dfrac{1}{m}$\\
よって\\
\begin{eqnarray*}
x+\dfrac{1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1} &\leqq& \dfrac{1}{k}\\
x+\dfrac{1}{m}&<& \dfrac{1}{k}\\
k&<& \dfrac{m}{mx+1}
\end{eqnarray*}
$x<1$より$\dfrac{m}{mx+1}>\dfrac{m}{m+1}$\\
よって\\
$k\leqq \dfrac{m}{m+1}$ならば条件を満たす。\\
\ \\
$x>1$のとき\\
$(x^{m+1}-1)>0$なので
\begin{eqnarray*}
x^m-1 &\leqq& k(x^{m+1}-1)\\
\dfrac{x^m-1}{x^{m+1}-1} &\leqq& k\\
\dfrac{(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1}{(x-1)(x^m+x^{m-1}+\cdots+1)} &\leqq& k\\
\dfrac{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1}{x^m+x^{m-1}+\cdots+1} &\geqq& k
\end{eqnarray*}
$k>0$なので\\
\begin{eqnarray*}
\dfrac{x^m+x^{m-1}+\cdots+1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1} &\leqq& \dfrac{1}{k}\\
x+\dfrac{1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1} &\leqq& \dfrac{1}{k}
\end{eqnarray*}
$x>1$より$x^k>1$なので$x^{m-1}+x^{m-1}+\cdots+1>m$\\
よって\\
$x+\dfrac{1}{x^{m-1}+x^{m-1}+\cdots+1}<x+\dfrac{1}{m}$\\
したがって\\
\begin{eqnarray*}
x+\dfrac{1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1} &\geqq& \dfrac{1}{k}\\
x+\dfrac{1}{m}&>& \dfrac{1}{k}\\
k&>& \dfrac{m}{mx+1}
\end{eqnarray*}
$x>1$より$\dfrac{m}{mx+1}<\dfrac{m}{m+1}$\\
よって\\
$k\geqq \dfrac{m}{m+1}$ならば条件を満たす。\\
\ \\
以上の通り、$\dfrac{m}{m+1} \leqq k \leqq \dfrac{m}{m+1}$ならば条件を満たすので\\
$k =\dfrac{m}{m+1}$ならば任意の$x$について式を満たす。\\
また
$\dlim_{x \to 1}\dfrac{x^m-1}{x^{m+1}-1}=\dlim_{x \to 1}\dfrac{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1}{x^m+x^{m-1}+\cdots+1}=\dfrac{m}{m+1}$\\

より$k\neq \dfrac{m}{m+1}$ならば条件の成立しない$x$が存在する。\\
$$
\text{よって条件を満たすならば}
k=\dfrac{m}{m+1}
\text{でなければならない。}$$
証明終了
\end{document}

