%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　四面体PQRSが，
      $\angle\text{PQR}=\angle\text{RQS}=\angle\text{SQP}=90^{\circ}$ お
      よび $\text{PR}=\text{PS}=a$（定数）をみたすとき，このような四面体
      の体積の最大値を求めよ．
 \item　四面体ABCDが，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}=a$（定数）
      をみたすとき，このような四面体の体積の最大値を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
Qを原点とし、QPを$z$軸の正の方向、QRを$x$軸の正の方向、QSを$y$軸の正の方向となるように直交座標系をとることができる。\\
このとき各点の座標は以下のようになる。\\
R$=(x,0,0)$\\
S$=(0,y,0)$\\
P$=(0,0,z)$\\
そのとき、$\text{PR}=\text{PS}=a$なので
$x^2+z^2=a^2,y^2+z^2=a^2$\\
$x>0,y>0$なので$x=y$\\
この四面体の体積$V$は$V=\dfrac{xyz}{6}$なので\\
$xy=x^2$\\
$x^2=a^2-z^2$より\\
$V=\dfrac{(a^2-z^2)z}{6}$\\
となる。\\
$f(z)=(a^2-z^2)z=a^2z-z^3$とすると\\
$f'(z)=a^2-3z^2=(a-\sqrt{3}z)(a+\sqrt{3}z)$\\
$f(z)$の３次の係数が負なので$f'(z)=0$となる値の大きい方で極大となる。\\
よって$z>0$の範囲では$z=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$で最大となりそのときの体積は\\
$V=\dfrac{\left(a^2-\left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^2\right)\dfrac{a}{\sqrt{3}}}{6}=\dfrac{a^3}{9\sqrt{3}}$\\
よって最大値は
$$\dfrac{a^3}{9\sqrt{3}}$$
2.\\
$\text{CA}=l$\\
$\text{DB}=m$\\
$\text{CA}$の中点を$P$\\
$\text{DB}$の中点を$Q$\\
体積は4面体PABDの体積の２倍\\
したがってPABDが最大となる場合を考えればよい。\\
$\triangle\text{ABD},\triangle\text{ACD}$は二等辺三角形なので$\angle\text{APB}=\angle\text{APC}=90^\circ$\\
lを一定とすると体積は三角形PBDの面積が最大となるときに最大となる。\\
したがって\\
角PBDが$90^\circ$となるとき最大となる。\\
このときは、$\text{AB}=\text{AC}$で$\angle\text{APB}=\angle\text{APB}=\angle\text{BPC}=90^\circ$となるので\\
1.より\\
体積は$\text{AP}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$で最大値$\dfrac{a^3}{9\sqrt{3}}$をとる。\\
よって4面体の体積の最大値は
$$\dfrac{2a^3}{9\sqrt{3}}$$

証明終了
\end{document}

