%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　A君がおみくじを引く．$N$ 回引いても「大吉」が出なければ打ち切ってやめる．
もし $N$ 回までに大吉が出ればその回でやめることにした．ただし，$N$ は2以
上の定まった自然数とする．\\
　A君が1回ごとに大吉を引く確率を $p$ とする．このときA君がおみくじを引く
のをやめるまでの回数の期待値（平均ともいう）$E$ は 
$E=\dfrac{1-(1-p)^N}{p}$ と表わされることを示し，$p=\dfrac{1}{5}$，
$N=10$ のときの $E$ の値を小数第2位まで求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$k$回目に大吉が出る確率を$P_k$とすると\\
１回目に引いて大吉がでる確率$P_1$は$p$\\
$k$回目に大吉が出る確率は$k-1$回目までに大吉が出なくて$k$回目に大吉が出る確率なので\\
$k-1$回まですべて大吉以外が出る確率$(1-p)^{k-1}$に$k$回目に大吉が出る確率をかけたものなので\\
$P_k=p(1-p)^{k-1}$\\
$k$回目で止める確率は$k<N$の時は$P_k$\\
$N$回目は何が出ても止めるので\\
$k=N$の時は$(1-p)^{N-1}=(1-p)^N+p(1-p)^{N-1}$となる。\\
止めるまでの回数の期待値は$\dfrac{1}{N}\left(N(1-p)^{N-1}+\dsum_{k=1}^{N-1} kP_k\right)$となる。\\
\begin{eqnarray*}
E&=&N(1-p)^{N-1}+\dsum_{k=1}^{N-1} kP_k\\
&=&N(1-p)^{N-1}+\dsum_{k=1}^{N-1} kp(1-p)^{k-1}\\
&=&N(1-p)^{N-1}+p\dsum_{k=1}^{N-1} k(1-p)^{k-1}\\
&=&N(1-p)^{N-1}+p(1+2(1-p)+3(1-p)^2+\cdots+(N-1)(1-p)^{N-2}\\
&=&N(1-p)^{N}+p(1+2(1-p)+3(1-p)^2+\cdots+N(1-p)^{N-1}\\
\end{eqnarray*}
$T=  1+2(1-p)    +3(1-p)^2+\cdots           +N(1-p)^{N-1}$とすると\\
$(1-p)T=(1-p)^{1}+2(1-p)^2+\cdots+(N-2)(1-p)^{N-2}           +N(1-p)^{N}$\\
より\\
$T-(1-p)T=pT=1+(1-p)+(1-p)^2+\cdots+(1-p)^{N-2}+(1-p)^{N-1}-N(1-p)^{N}$\\
となる\\
$S=1+(1-p)+(1-p)^2+\cdots+(1-p)^{N-1}$とすると\\
$S-(1-p)S=1+(1-p)+(1-p)^2+\cdots+(1-p)^{N-2}-
           ((1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+\cdots+(1-p)^{N})=1-(1-p)^{N}$\\
よって$S=\dfrac{1-(1-p)^{N}}{p}$\\
$pT=S-N(1-p)^{N}$より\\
$pT=\dfrac{1-(1-p)^{N}}{p}-N(1-p)^{N}$\\
よって$E=N(1-p)^{N}+pT$より\\
\begin{eqnarray*}
E&=&N(1-p)^{N}+\dfrac{1-(1-p)^{N}}{p}-N(1-p)^{N}\\
&=&\dfrac{1-(1-p)^{N}}{p}
\end{eqnarray*}
となり
$$E=\dfrac{1-(1-p)^{N}}{p}$$
$p=\dfrac{1}{5},N=10$のとき\\
\begin{eqnarray*}
E&=&\dfrac{1-(1-\dfrac{1}{5})^{10}}{\dfrac{1}{5}}\\
&=&5(1-\dfrac{4^{10}}{5^{10}})\\
&=&5-\dfrac{4^{10}}{5^9}\\
&=&5-\dfrac{4^{10}}{5^9}\\
&=&\dfrac{5^{10}-4^{10}}{5^9}\\
&=&\dfrac{(5^5-4^5)(5^5+4^5)}{5^9}\\
&=&\dfrac{(5-4)(5^4+4\cdot5^3+4^2\cdot 5^2+4^3\cdot 5+4^4)(5^5+4^5)}{5^9}\\
&=&\dfrac{(5^4+4\cdot 5^3+4^2\cdot 5^2+4^3\cdot 5+4^4)(5^5+4^5)}{5^9}\\
&=&\dfrac{(625+4\cdot 125+16\cdot 25+64\cdot 5+256)(5^5+4^5)}{5^9}\\
&=&\dfrac{2101(3125+1024)}{5^9}\\
&=&\dfrac{2101\cdot 4149}{5^9}\\
&=&\dfrac{2101\cdot 4149\cdot 512}{2^9\cdot5^9}\\
&=&\dfrac{2101\cdot 4149\cdot 512}{2^9\cdot5^9}\\
&=&\dfrac{2101\cdot 4149\cdot 512}{10^9}\\
&=&\dfrac{4463129088}{10^9}\\
&=&4.463129088
\end{eqnarray*}
よって
$$E=4.46$$

証明終了
\end{document}

