%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　次の不等式を証明せよ．ただし，$e$ は自然対数の底である．
\begin{enumerate}
 \item　$0<a\leqq x$ のとき $\dint_a^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt\leqq \dfrac{1}{a}e^{-\frac{a^2}{2}}-\dfrac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}$
 \item　$3<b$ のとき $\dint_3^b e^{-\frac{t^2}{2}+2t}\,dt<e^{\frac{3}{2}}$
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$F(x)=\dint_a^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt$\\
とする。\\
$f(x)=-\dfrac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}$
とすると$f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}e^{-\frac{x^2}{2}}$\\
よって$g(x)=f'(x)$として
$\dint_a^x g(t)\,dt=f(x)-f(a)=-\dfrac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}+\dfrac{1}{a}e^{-\frac{a^2}{2}}$\\
$\dfrac{x^2+1}{x^2} > 1$より\\
$g(x)>e^{-\frac{x^2}{2}}$\\
がすべての$x>0$について成り立つ。\\
したがって\\

$\dint_a^x g(t)\,dt \geqq F(x)$\\
よって\\
$-\dfrac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}+\dfrac{1}{a}e^{-\frac{a^2}{2}} \geqq \dint_a^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt$
より
$$\dint_a^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt \leqq \dfrac{1}{a}e^{-\frac{a^2}{2}}-\dfrac{1}{x}e^{-\frac{x^2}{2}}$$
2.\\
$f(x)=\dfrac{1}{2-x}e^{-\frac{x^2}{2}+2x}$\\
とすると\\
$f'(x)=\dfrac{(x-2)^2+1}{(x-2)^2}e^{-\frac{x^2}{2}+2x}$となる。\\
したがって\\
\begin{eqnarray*}
\dint_3^b e^{-\frac{t^2}{2}+2t}\,dt &\leqq& \dint_3^b f'(t)\,dt\\
&=&\Bigl[f(t)\Bigr]_3^b\\
&=&f(b)-f(3)\\
&=&\dfrac{1}{2-b}e^{-\frac{b^2}{2}+2b}-
\dfrac{1}{2-3}e^{-\frac{3^2}{2}+6}\\
&=&e^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{b-2}e^{-\frac{b^2}{2}+2b}
\end{eqnarray*}
$b>3$より$b-2>0$よって$\dfrac{1}{b-2}e^{-\frac{b^2}{2}+2b}>0$\\
したがって\\
$\dint_3^b e^{-\frac{t^2}{2}+2t}\,dt \leqq e^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{b-2}e^{-\frac{b^2}{2}+2b} < e^{\frac{3}{2}}$\\
以上より
$$\dint_3^b e^{-\frac{t^2}{2}+2t}\,dt <e^{\frac{3}{2}}$$
証明終了
\end{document}

