%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$0\leqq x$，$0\leqq y$，$0\leqq z$ で定まる空間の部分を $A$ とし，
$0\leqq x\leqq 1$，$0\leqq y\leqq 1$，$0\leqq z\leqq 1$ で定まる立方体を 
$C$ とする．$t$ が $0<t<3$ の範囲で動くとき，平面 $x+y+z=t$ による，$A$ 
および $C$ の切り口の面積を，それぞれ $T(t)$ および $S(t)$ とする．
\begin{enumerate}
 \item　$T(t)$ を求めよ．
 \item　$S(t)$ の最大値を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$t$における$x$軸と$x+y+z=t$の交点は\\
$y=z=0$の時なので$x=t$\\
同様に$y$軸との交点は$y=t$、$z$軸との交点は$z=t$
したがってこの切口は$(t,0,0),(0,t,0),(0,0,t)$の３点を頂点とする正三角形\\
よってこの三角錘の体積は$(0,0,0),(t,0,0),(0,t,0)$の３点を頂点とする直角三角形を底面とし高さを$t$とする三角錘の体積なので
$\dfrac{t^3}{6}$\\
直線$x=y=z$と$x+y+z=t$の交点と原点Oの距離なので交点は$(\dfrac{t}{3},\dfrac{t}{3},\dfrac{t}{3})$なので\\
その距離は$\sqrt{3\dfrac{t^2}{3^2}}=\dfrac{t}{\sqrt{3}}$\\

よってこの三角形の面積を$S$とすると三角錘の体積は$\dfrac{1}{3}S\sqrt{t}$なので\\
$\dfrac{t^3}{6}=\dfrac{St}{3\sqrt{3}}$\\
よって$S=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2$\\
したがって
$$T(t)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2$$
2./
立方体は$0\leqq x,0 \leqq y,0 \leqq z$の範囲と$x \leqq 1,y \leqq 1,z \leqq 1$の範囲の共通部分なので\\
$x+y+z=1$による切口の形は\\
$0<t<1$の範囲では$C$との切口とおなじ\\
よって$S(t)=T(t)$\\
$1<t<2$の範囲では$A$から$x>1,y>1,z>1$の部分の三角形を除いたもの\\
$x$軸上の頂点の位置は1.と同様$(t,0,0)$なので
そこから$x=1$の平面までの距離は$(t-1)$\\
その範囲の三角錘は1.と同様直交する辺の長さが$(t-1)$の直角二等辺三角形を底面とする高さ$(t-1)$の三角錘なので
$A$を底辺とする三角錘の体積は$\dfrac{1}{3}(t-1)^3$\\
$(1,0,0)$から底面までの距離は$\dfrac{(t-1)}{\sqrt{3}}$なので\\
三角形の面積を$S_x$とすると$S_x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(t-1)^2$\\
よって面積$S(t)=T(t)-3S_x=T(t)-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(t-1)^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(t-1)^2$\\
$2<t<3$の範囲では$C$の切口を反転させたものとおなじになる。\\
よって$S(t)=T(3-t)$\\
以上より$0<t<1$の範囲では$t$は単調増加なので$S(1)$が最大\\
$2<t<3$の範囲では$t$は単調減少なので$S(2)$が最大\\
$S(1),S(2)$を含めた範囲$1\leqq t \leqq 2$の範囲の最大値が$S(t)$の最大値\\
この範囲では
\begin{eqnarray*}
S(t)&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(t-1)^2\\
&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}(t^2-3(t-1)^2)\\
&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}(-2t^2+6t-3)
\end{eqnarray*}
$f(t)=-2t^2+6t-3$とすると\\
$f'(t)=-4t+6$\\
となり$f(t)$は上に凸な２次方程式なので$t=\dfrac{3}{2}$の点で最大となる。\\
よって$S(t)$の最大値は\\
$$S(\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$

証明終了
\end{document}

