%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　校庭に，南北の方向に1本の白線が引いてある．ある人が，白線上の点Aから西
へ5メートルの点に立ち，銅貨を投げて，表が出たときは東へ1メートル進み，裏
が出たときは北へ1メートル進む．白線に達するまで，これを続ける．
\begin{enumerate}
 \item　A点から $n$ メートル北の点に達する確率 $p_n$ を求めよ．
 \item　$p_n$ を最大にする $n$ を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
スタートする点を$(0,0)$とし、東に$x$メートル、北に$y$メートルの点を$(x,y)$と表す。
すると、A点から北に$n$メートルの点は$(5,n)$となる。この点$(5,n)$を$P_n$とする。\\
$(5,n-1)$の点に到達したときにはその時点で終了するので
点$P_n$に到達するためには、その直前に$(4,n)$の点にいなければならない。\\
また$P_n$に到達するためには、それまでのに$5+n$回硬貨を投げなければならないので
結果、$P_n$に到達するためには$n+4$回の投げて$(4,n)$に到達し、次に投げた硬貨が表になる必要がある。\\
よって$p_n$は$n+4$回なげて、表が$4$回出る確率にもう一度表が出る確率をかけたものとなる。\\
したがって\\
$p_n=\dfrac{{}_{n+4}C_4}{2^{5+n}}=\dfrac{(n+4)!}{4!n!2^{5+n}}=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{3*2^{8+n}}$\\
となる。\\
$$p_n=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{3\cdot 2^{n+8}}$$
2.\\
\begin{eqnarray*}
p_n-p_{n-1}&=&\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{3\cdot 2^{8+n}}-\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{3\cdot 2^{7+n}}\\
&=&\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3\cdot 2^{n+7}}(\dfrac{(n+4)}{2}-n)\\
&=&\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3\cdot 2^{n+8}}(4-n)
\end{eqnarray*}
となり\\
$\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{3\cdot 2^{n+8}}$は常に正なので\\
$n<4$のとき$p_n>p_{n-1}$\\
$n=4$のとき$p_n=p_{n-1}$\\
$n>4$のとき$p_n<p_{n-1}$\\
よって$p_n$は$n$が$0$から$3$までは増加し\\
$p_4=p_3$となり\\
$n$が４より大きいときは減少する。\\
したがって$p_n$が最大となるのは$n=3,4$のとき\\
$$p=3,p=4$$
証明終了
\end{document}

