%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$C$ を $y=x^3-x$ のグラフ，Pを原点と異なる $C$ 上の点とする．
\begin{enumerate}
 \item　点Pにおける曲線 $C$ の接線は，Pと異なる点Qで交わることを示せ．
 \item　曲線 $C$ と線分PQで囲まれた部分は，$y$ 軸 $x=0$ によって，どのよ
      うな面積の比に分けられるか．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
点Pの$x$座標を$t$とすると,点Pの接線の傾きは$3t^2-1$\\
そしてその接線の式を$y=(3t^2-1)x+c$とすると\\
この接線は$(t,t^3-t)$を通るので\\
$t^3-t=(3t^2-1)t+c$\\
が成立するので$c=-2t^3$となる。\\
よって接線の式は$y=(3t^2-1)x-2t^3$\\
$C$とこの直線の交点は$x^3-x-(3t^2-1)x+2t^3=x^3-3t^2x+2t^3=(x-t)^2(x+2t)=0$の解である\\
これにより$x=t$以外に$x=-2t$という解が存在し、Pは原点ではないので$t\neq 0$よって
$-2t \neq t$よりPとは異なる点Qで交わる。\\
2.\\
Qの$x$座標は$-2t$なので囲まれた部分の面積は\\
$\dint_{-2t}^t x^3-3t^2x+2t^3\,dx$である。\\
$x=0$によってわけると$t$と$-2t$は常に符号が異なるので\\

$\dint_{-2t}^0 x^3-3t^2x+2t^3\,dx$と$\dint_0^t x^3-3t^2x+2t^3\,dx$
にわけられる。\\
それぞれの面積を計算すると\\
$\dint_{-2t}^0 x^3-3t^2x+2t^3\,dx=\Bigl[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3t^2}{2}x^2+2t^3x\Bigr]_{-2t}^0=6t^4$\\
$\dint_0^t x^3-3t^2x+2t^3\,dx=\Bigl[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3t^2}{2}x^2+2t^3x\Bigr]_0^t=\dfrac{3t^4}{4}$\\
したがって面積はPの側の面積を$S_P$,Qの側の面積を$S_Q$とすると
$$S_P:S_Q=1:8$$
証明終了
\end{document}

