%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$A^2=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 0 & 1
       \end{pmatrix}$ および $b\neq 0$ をみたす行列 $A=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について，次のこと示せ．
\begin{enumerate}
 \item　一次変換 $\dbinom{x'}{y'}=A\dbinom{x}{y}$ において，点P$(x,y)$ と
      その像Q$(x',y')$ を結ぶ線分の中点は，原点を通る定直線 $l$ 上にある．
 \item　(1)において，線分PQがつねに定直線 $l$ と垂直であるための必要十分
      条件は，$b=c$ である．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$\dbinom{x'}{y'}=A\dbinom{x}{y}$より\\
$x'=ax+by,y'=cx+dy$\\
また$A^2=E$より\\
$
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a^2+bc&ab+bd\\
ac+cd&bc+d^2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
$より\\
\begin{eqnarray*}
a^2+bc&=&1\\
ab+bd&=&0\\
ac+cd&=&0\\
bc+d^2&=&1
\end{eqnarray*}
$b(a+d)=0$から$b\neq 0$より\\
$a+d=0$\\
つまり$a=-d$\\
P,Qの中点の座標Cは$(\dfrac{x+x'}{2},\dfrac{y+y'}{2})$\\
$\dfrac{x+x'}{2}=\dfrac{(1+a)x+by}{2}$\\
$\dfrac{y+y'}{2}=\dfrac{cx+(1+d)y}{2}=\dfrac{cx+(1-a)y}{2}$\\
よって\\
C$=(\dfrac{(1+a)x+by}{2},\dfrac{cx+(1+a)y}{2})$\\
C$=(x_c,y_c)$とすると\\
$bc=1-a^2$\\
$a^2=1-bc$より\\
$2by_c=bcx+b(1-a)y=(1-a^2)x+b(1-a)y=(1-a)((1+a)x+by)=(1+a)(2x_c)$\\
$b\neq 0$より\\
$y_c=\dfrac{(1-a)}{b}x_c$\\
となり$x,y$の値に関係なく$y=\dfrac{(1-a)}{b}x$の線上にある。\\
この直線は原点を通るので$l$の条件を満たしている。\\
したがって中点は定直線 $l$ 上にある\\
2.\\
PQのベクトルは$(x-x',y-y')$\\
線分$l$と平行なベクトルは$(b,1-a)$\\
この二つのベクトルが直交するためには内積が０であればよい\\
$x-x'=x-ax-by$,$y-y'=y-cx-dy$\\
よって内積は$b(x-ax-by)+(y-cx-dy)(1-a)=(ac-c-ab+b)x+(ad-d-b^2-a+1)y$\\
これが任意の$x,y$について成立するためには
$ac-c-ab+b=0$かつ$ad-d-b^2-a+1=0$\\
\begin{eqnarray*}
ac-c-ab+b&=&0\\
(a-1)c-b(a-1)&=&0\\
(a-1)(c-b)&=&0\\
ad-d-b^2-a+1&=&0\\
d(a-1)-(a-1)-b^2&=&0\\
(a-1)(d-1)-b^2&=&0\\
(a-1)(d-1)&=&b^2
\end{eqnarray*}
$b\neq 0$より$a-1 \neq 0$\\
$d-1\neq 0$\\
よってこの条件を満たすには$b-c=0$でなければならない\\
よって$b=c$\\
また逆にこのとき\\
$(a-1)(b-c)=0$は自明\\
$ad-d-b^2-a+1=-a^2+a-bc-a+1=-a^2-bc+1=0$
となり内積は0\\
よって二つのベクトルは直交する。\\
以上よりPQと$l$が垂直に交わるためには、$b=c$が必要十分である。\\
証明終了
\end{document}

