%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　平面上に四辺形ABCDがあって，どの頂点も，残りの頂点の作る三角形の外部に
ある．$\triangle$BCDの重心を$\text{A}_1$，$\triangle$CDAの重心を
$\text{B}_1$，$\triangle$DABの重心を$\text{C}_1$，$\triangle$ABCの重心を$\text{D}_1$ として，四辺形 
$\text{A}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$ を作る．
\begin{enumerate}
 \item　線分 $\text{A}\text{A}_1$，$\text{B}\text{B}_1$， 
      $\text{C}\text{C}_1$，$\text{D}\text{D}_1$ は1点Pを共有する．
 \item　(1)において，点Pは各線分をどのような比に分けるか．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
どの頂点も他の三角形の内部に無いから、各三角形の重心$\text{X}_1$は四辺形の内部にある。\\
適当な点OをとってOからABCDへのベクトルをそれぞれ$\dvec{a},\dvec{b},\dvec{c},\dvec{d}$とする。\\
また$\text{A}_1,\text{B}_1,\text{C}_1,\text{D}_1$へのベクトルを$\dvec{a_1},\dvec{b_1},\dvec{c_1},\dvec{d_1}$とする。\\
\begin{eqnarray*}
\dvec{a_1}&=&\dfrac{\dvec{b}+\dvec{c}+\dvec{d}}{3}\\
\dvec{b_1}&=&\dfrac{\dvec{a}+\dvec{c}+\dvec{d}}{3}\\
\dvec{c_1}&=&\dfrac{\dvec{a}+\dvec{b}+\dvec{d}}{3}\\
\dvec{d_1}&=&\dfrac{\dvec{a}+\dvec{b}+\dvec{c}}{3}\\
\end{eqnarray*}
線分$\text{A}\text{A}_1$は$p\dvec{a}+(1-p)\dvec{a_1}$で表せる。\\
同様に
線分$\text{B}\text{B}_1$は$q\dvec{b}+(1-q)\dvec{b_1}$\\
線分$\text{C}\text{C}_1$は$r\dvec{c}+(1-r)\dvec{c_1}$\\
線分$\text{D}\text{D}_1$は$s\dvec{d}+(1-s)\dvec{d_1}$\\
と表せる。\\
したがってそれぞれの線分は
$p\dvec{a}+\dfrac{1-p}{3}(\dvec{b}+\dvec{c}+\dvec{d})$
$q\dvec{b}+\dfrac{1-q}{3}(\dvec{a}+\dvec{c}+\dvec{d})$
$r\dvec{c}+\dfrac{1-r}{3}(\dvec{a}+\dvec{b}+\dvec{d})$
$s\dvec{d}+\dfrac{1-s}{3}(\dvec{a}+\dvec{b}+\dvec{c})$
と表せるので\\
$q=q=r=s=\dfrac{1}{4}$とすると\\
すべて
$\dfrac{1}{4}\dvec{a}+\dfrac{1}{4}\dvec{b}+\dfrac{1}{4}\dvec{c}+\dfrac{1}{4}\dvec{d}$\\
となって同一のベクトルとなる。\\
したがってこの終点をPとすると同一の点Pを共有する。\\
2.\\
上記より点Pはそれぞれの線分を$1:3$に分割する。\\

証明終了
\end{document}
