%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　次の性質をもつ実数 $a$ は，どのような範囲にあるか．\\
　二次方程式 $t^2-2at+3a-2=0$ は実根 $\alpha$，$\beta$ をもち，
$\alpha\geqq\beta$ とするとき，不等式 $y\leqq x$，$y\geqq -x$，$ay\geqq
3(x-\beta)$ で定まる領域は，三角形になる．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$t^2-2at+3a-2=0$を解くと\\
$t=a\pm\sqrt{a^2-3a+2}$となる。\\
これが二つの実根を持つためには$a^2-3a+2\geqq0$が成立しなければならない。\\
$a^2-3a+2=(a-1)(a-2)$なので\\
$a\leqq 1$または$a \geqq 2$の範囲で二つの実根を持つ。\\
このとき$a^2-3a+2>0$なので実根の小さい方は$a-\sqrt{a^2-3a+2}$となる。\\
したがって$y \geqq -x$と$y\leqq x$と$ay\geqq 3(x-\beta)$が三角形をなすためには\\
$ay=3(x-\beta)$が$y=x$,$y=-x$のそれぞれと$x>0$の範囲で交点を持つ必要がある。\\
したがって$x$の方程式$ax=3(x-\beta)$,$-ax=3(x-\beta)$が解をもってそれが正である必要がある。\\
$a=3,-3$のときはこの方程式は解を持たないので、$a\neq 3,-3$\\
つまり\\
$ax=3(x-\beta)$の解$x=\dfrac{-3\beta}{a-3}$が正\\
$-ax=3(x-\beta)$の解$x=\dfrac{3\beta}{a+3}$が正\\
よって
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-3a+3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a-3}&>&0\\
\dfrac{3a-3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a+3}&>&0
\end{eqnarray*}
$a<0$では\\
$-3a>0$より$\dfrac{-3a+3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a-3}<0$\\
$0<a \leqq 1$では\\
$a+\sqrt{(a-1)(a-2)}>0$なので
$a-\sqrt{(a-1)(a-2)}$の正負は$(a-\sqrt{(a-1)(a-2)})(a+\sqrt{(a-1)(a-2)})=a^2-a^2+3a-2=3a-2$の正負と一致する。\\
よって\\
$a<\dfrac{2}{3}$のときは負、$a>\dfrac{2}{3}$のときは正\\
よって$0<a<\dfrac{2}{3}$のとき\\
$\dfrac{-3a+3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a-3}>0$\\
しかしそのとき$3a-3\sqrt{(a-1)(a-2)}<0$なので\\
$\dfrac{3a-3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a+3}<0$となり成立しない。\\
$2\leqq a<3$では\\
$a-\sqrt{(a-1)(a-2)}$の正負は$(a-\sqrt{(a-1)(a-2)})(a+\sqrt{(a-1)(a-2)})=a^2-a^2+3a-2=3a-2$の正負と一致する\\
$3a-2>0$より
$\dfrac{-3a+3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a-3}>0$\\
$\dfrac{3a-3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a+3}>0$\\
となり成立する。
$a>3$においては
$-3a+3\sqrt{(a-1)(a-2)}<0$より
$\dfrac{-3a+3\sqrt{(a-1)(a-2)}}{a-3}<0$\\
となり成立しない。\\
以上より\\
条件が成立するのは
$$2 \leqq a<3$$

証明終了
\end{document}
