%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1982年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　平面上に四辺形ABCDがあって，どの頂点も，残りの頂点の作る三角形の外部に
ある．$\triangle$BCDの重心を$\text{A}_1$，$\triangle$CDAの重心を
$\text{B}_1$，$\triangle$DABの重心を$\text{C}_1$，$\triangle$ABCの重心を$\text{D}_1$ として，四辺形 
$\text{A}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$ を作る．これを1回目とし，同様
の手続きをくり返して，$n$ 回目に得られる四辺形を 
$\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$ とする．\\
　このとき，次のことを示せ． 
\begin{enumerate}
 \item　線分 $\text{A}\text{A}_1$，$\text{B}\text{B}_1$， 
      $\text{C}\text{C}_1$，$\text{D}\text{D}_1$ は1点Pを共有する．
 \item　点 $\text{A}_n$（$n=1$，2，3，$\cdots$）は1直線上にある．
 \item　$\text{A}_n$とPとの距離 $\overline{\text{A}_n\text{P}}$ について，
      $\dlim_{n\to\infty}\overline{\text{A}_n\text{P}}=0$ である． 
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
適当な点Oをとってそこから点Xへのベクトルを$\dvec{x}$とする。\\
線分$\text{A}\text{A}_1$は$t_a\dvec{a}+(1-t_a)\dvec{a_1}\,(0\leqq t_a \leqq 1)$と表すことができる。\\
他の線分も同様。\\
1.\\
$\dvec{a_1}=\dfrac{\dvec{b}+\dvec{c}+\dvec{d}}{3}$より\\
線分$\text{A}\text{A}_1$は$t_a\dvec{a}+\dfrac{(1-t_a)(\dvec{b}+\dvec{c}+\dvec{d})}{3}\,(0\leqq t_x\leqq 1)$と表せるので\\
$t_a=\dfrac{1}{4}$の時の点をPとすると\\
$\dvec{p}=\dfrac{1}{4}(\dvec{a}+\dvec{b}+\dvec{c}+\dvec{d})$\\
となり、他の線分も同様になる。\\
よって他の線分は１点Pを共有する。\\
\ \\
2.\\
\begin{eqnarray*}
\dvec{a_n}&=&\dfrac{\dvec{b_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}}{3}\\
&=&\dfrac{1}{3}\left(
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-2}}+\dvec{c_{n-2}}+\dvec{d_{n-2}}\right)+
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-2}}+\dvec{b_{n-2}}+\dvec{d_{n-2}}\right)+
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-2}}+\dvec{b_{n-2}}+\dvec{c_{n-2}}\right)+\right)\\
&=&\dfrac{1}{9}\left(3\dvec{a_{n-2}}+2\dvec{b_{n-2}}+2\dvec{c_{n-2}}+2\dvec{d_{n-2}}\right)\\
&=&\dfrac{1}{9}\left(3\dvec{a_{n-2}}+6\dvec{a_{n-1}}\right)\\
&=&\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-2}}+2\dvec{a_{n-1}}\right)\\
\end{eqnarray*}
以上よりAを$\text{A}_0$とすると$n \geqq 2$のとき
$\text{A}_n$は線分$\text{A}_{n-2}\text{A}_{n-1}$上にある。\\
$n\geqq 2$ならば$\text{A}_n$は線分$\text{A}_0\text{A}_1$上にあるので\\
点$\text{A}_n$は１直線上にある。\\
3.\\
$\text{P}_n$を$\text{A}_n,\text{B}_n,\text{C}_n,\text{D}_n$重心とすると\\
$\dvec{p_n}=\dfrac{1}{4}\left(\dvec{a_n}+\dvec{b_n}+\dvec{c_n}+\dvec{d_n}\right)$となる。\\
$\dvec{a_n}=\dfrac{1}{3}\left(\dvec{b_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}\right)$\\
$\dvec{b_n}=\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}\right)$\\
$\dvec{c_n}=\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{b_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}\right)$\\
$\dvec{d_n}=\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{b_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}\right)$\\
より
\begin{eqnarray*}
\dvec{p_n}&=&\dfrac{1}{4}\left(
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{b_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}\right)+
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}\right)+
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{b_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}}\right)+
\dfrac{1}{3}\left(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{b_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}\right)\right)\\
&=&\dfrac{1}{12}(3a_{n-1}+3b_{n-1}+3c_{n-1}+3d_{n-1})\\
&=&\dfrac{1}{4}(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}+d_{n-1})\\
&=&\dvec{p_{n-1}}
\end{eqnarray*}
となり$\text{P}_n$と$\text{P}_{n-1}$は等しい。\\
よって$\text{P}_n=\text{P}$\\
\begin{eqnarray*}
\dvec{p}&=&\dfrac{1}{4}(\dvec{a_{n-1}}+\dvec{b_{n-1}}+\dvec{c_{n-1}}+\dvec{d_{n-1}})\\
&=&\dfrac{1}{4}(\dvec{a_{n-1}}+3\dvec{a_{n}})\\
&=&\dfrac{1}{4}\dvec{a_{n-1}}+\dfrac{3}{4}\dvec{a_{n}}
\end{eqnarray*}
より点Pは$\text{A}_n$と$\text{A}_{n-1}$の線分上にある。\\
$\dvec{a_n}=\dfrac{1}{3}\dvec{a_{n-2}}+\dfrac{2}{3}\dvec{a_{n-1}}$より\\
$\dvec{a_n}-\dvec{a_{n-1}}=\dfrac{1}{3}(\dvec{a_{n-2}}-\dfrac{1}{3}\dvec{a_{n-1}})$\\
$|\overrightarrow{\text{A}_{n-1}\text{A}_{n}}|=\dfrac{1}{3}|\overrightarrow{\text{A}_{n-2}\text{A}_{n-1}}|$\\
となり線分$\text{A}_{n-1}\text{A}_{n}$の長さは線分$\text{A}_{n-2}\text{A}_{n-1}$の長さの$\dfrac{1}{3}$\\
よって線分$\text{A}_{n-1}\text{A}_{n}$の長さを$l_n$とすると\\
$l_n=\dfrac{1}{3}l_{n-1}$\\
よって$l_1=l$とすると\\
$l_n=\dfrac{1}{3^{n-1}}l$\\
点Pは常に線分$\text{A}_{n-1}\text{A}_{n}$上にあるので
$\overline{\text{A}_{n-1}\text{A}_{n}}>\overline{\text{A}_{n}\text{P}}$\\
$\dlim_{n \to \infty} l_n=\dlim_{n \to \infty} \dfrac{1}{3^{n-1}}l=0$より\\
$$\dlim_{n\to\infty}\overline{\text{A}_n\text{P}}=0$$

証明終了
\end{document}
