%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$ab+cd=0$，$ad-bc\neq 0$ を満たす実数 $a$，$b$，$c$，$d$ のつくる行
列 $A=\begin{pmatrix}a &b \\ c& d\end{pmatrix}$ がある．ただし，$a$，$c$ 
は負でないとする．
\begin{enumerate}
 \item　$A=\begin{pmatrix}v\cos\theta &-v\sin\theta \\ v\sin\theta&
v\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0& u\end{pmatrix}$ と表さ
れることを示せ．ただし，$u$，$v$，$\theta$ は実数で，$v>0$，$0\leqq
\theta<2\pi$ とする．
 \item　Oを原点とする座標平面上の1次変換 $\begin{pmatrix}x' \\
      y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$ について，長
      さ1のベクトル $\Vec{\mathrm{OP}}=\begin{pmatrix}x \\
      y\end{pmatrix}$ から，ベクトル 
      $\Vec{\mathrm{OP}'}=\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}$ への角度
      を $\gamma$（$-\pi<\gamma\leqq\pi$）とする（したがって，半直線OPを
      角度 $\gamma$ だけ回転すれば半直線 $\mathrm{OP}'$ となる）．
      $(x,y)$ が $x\geqq 0$，$y\geqq 0$，$x^2+y^2=1$ の範囲を動いたとき，
      $\gamma$ を最大にする $\Vec{\mathrm{OP}}$ を求めよ．ただし，
      $0<u<1$ とする．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$a=0$ならば$ab=0$より$cd=0$\\
よって$c,d$のいずれかがとなる。\\
$c=0$とすると$ad-bc=0$となって条件に反するので$d=0$なので\\
$A=
\begin{pmatrix}
0&b\\
c&0
\end{pmatrix}
$となる。\\
ここで$\theta=\dfrac{\pi}{2},v=c,u=-\dfrac{b}{c}$とすると\\
$A=
\begin{pmatrix}
v\cos\theta&-v\sin\theta\\
v\sin\theta&v\cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&u
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v\cos\theta&-uv\sin\theta\\
v\sin\theta&uv\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&b\\
c&0
\end{pmatrix}
$となり、表すことができる。\\
\ \\
$a\neq 0$の場合を考える。\\
$ab+cd=0$より
$b=0$ならば$ab=0$より$c=0$または$d=0$なので\\
$d=0$とすると$ad-bc=0$なり条件に反するので$c=0$\\
よって
$A=
\begin{pmatrix}
a&0\\
0&d
\end{pmatrix}
$と表せる。
\\
ここで$\theta=0,v=a,u=\dfrac{d}{a}$とすると\\
$
\begin{pmatrix}
v\cos\theta&-v\sin\theta\\
v\sin\theta&v\cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&u
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v\cos\theta&-uv\sin\theta\\
v\sin\theta&uv\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a&0\\
0&d
\end{pmatrix}
=A
$となり\\
表すことができる。\\
$a\neq 0,b\neq 0$の時を考える。\\
$ab\neq 0$なので$cd\neq 0$よって$c\neq 0 ,d\neq 0$\\
このとき$\tan\theta=\dfrac{c}{a}$となる$\theta$をとることができる。\\
$\theta$をこのような値だとすると$t=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$として\\
$a=t\cos\theta$\\
$c=t\sin\theta$\\
と表すことができる。\\
$ab+cd=0$より\\
$ab=-cd$\\
$a\neq 0,d\neq 0$なので\\
$\dfrac{b}{d}=-\dfrac{c}{a}$\\
よって$\dfrac{b}{d}=-\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$\\
$s=\dfrac{1}{\sqrt{b^2+d^2}}$とすると\\
$b=-s\sin\theta$\\
$d=s\cos\theta$となる。\\
$v=t,u=\dfrac{s}{t}$とすると\\
$
\begin{pmatrix}
v\cos\theta&-v\sin\theta\\
v\sin\theta&v\cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&u
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v\cos\theta&-uv\sin\theta\\
v\sin\theta&uv\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
t\cos\theta&-s\sin\theta\\
t\sin\theta&s\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
=A$\\
となり、表すことができる。\\
2.\\
$A=
\begin{pmatrix}
v\cos\theta &-v\sin\theta \\
v\sin\theta&v\cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0& u
\end{pmatrix}
$なので\\
この操作はPを$y$軸方向に$u$倍し$\theta$回転し、$v$倍することになる。\\
$x\geqq0,y\geqq0$でかつ$0<u<1$なので始めの操作は$y$軸方向の縮小をすることになり\\
OPと$x$軸の角を$\alpha$としOPと$x$軸の正の部分との角を$\beta$とすると\\
$\alpha \geqq \beta \geqq 0$となる。\\
$\gamma=\beta+\theta-\alpha$なので\\
$\theta>0$の場合\\
$\beta-\alpha\leqq 0$より$\gamma\leqq \theta$となる。\\
したがって$\theta$は一定なので$\gamma$が大きくなるためには$\beta-\alpha$が0になればいい。\\
$y$軸方向の縮小によって角度が変化しないためには$\tvec{OP}$が$x$軸または$y$軸に一致すればいい\\
よって$\tvec{OP}$が$(1,0),(0,1)$のとき\\
$\theta\leqq 0$の場合
$\gamma=\theta+\beta-\alpha<0$となりこれが最大となるのは$\beta=\alpha$のとき\\
同様に$\tvec{OP}$が$(1,0),(0,1)$のとき\\

証明終了
\end{document}


