%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$f(x)$ は $x$ の整式で， $f(0)=f'(0)=0$，$f''(x)=2(1-x)$ を満たすとす
る（$f''(x)$ は $f'(x)$ の導関数を表す）．
\begin{enumerate}
 \item　$f(x)$ を求めよ．
 \item　$y=f(x)$ のグラフの $x\geqq 0$ の部分を $C$ とする．また，点 
      $(-1,0)$ を通る $C$ の接線で傾きが 0 でないものを $T$ とする．この
      とき，$x$ 軸の負の部分と，$C$，$T$ とで囲まれた領域の面積を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$f''(x)=2(1-x)$より\\
$f'(x)=2x-x^2+c$\\
$f'(0)=0$より$f'(x)=2x-x^2$\\
$f(x)=x^2-\dfrac{1}{3}x^3+c$\\
$f(0)=0$より
$$f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x^2$$
2.\\
\includegraphics[width=10cm,clip]{1983l_5.eps}\\
$f(x)$の点$(t,f(t))$における接線の方程式を$y=ax+b$とすると
$a=f'(t)$で、$f(t)=f'(t)t+b$となる。\\
よって
\begin{eqnarray*}
b&=&f(t)-f'(t)t\\
&=&-\dfrac{1}{3}t^3+t^2-(2t-t^2)t\\
&=&\dfrac{2}{3}t^3-t^2
\end{eqnarray*}
この接線が$(-1,0)$を通過するので\\
$0=f'(t)(-1)+b=-(2t-t^2)+\dfrac{2}{3}t^3-t^2=\dfrac{2t}{3}(t^2-3)$
$t=0$ならば、$f'(0)=0$より傾きが0になるので$t\neq 0$より
$t=\pm \sqrt{3}$\\
したがって$a=f'(\pm\sqrt{3})=\pm 2\sqrt{3}-3$\\
$C$は$x\geqq 0$の部分なので接点の$x$座標は正\\
よって$t=\sqrt{3}$\\
$a=2\sqrt{3}-3$より\\
$C$と$T$の交点は
\begin{eqnarray*}
-\dfrac{1}{3}x^3+x^2&=&(2\sqrt{3}-3)(x+1)\\
-x^3+3x^2&=&3(2\sqrt{3}-3)(x+1)\\
0&=&x^3-3x^2+3(2\sqrt{3}-3)x+3(2\sqrt{3}-3)\\
0&=&x^3-3x^2+3(2\sqrt{3}-3)x+3(2\sqrt{3}-3)\\
0&=&-\dfrac{1}{3}(x-\sqrt{3})^2(x+2\sqrt{3}-3)
\end{eqnarray*}
$C$は$x\geqq 0$の範囲なので$C$,$T$,$x$軸の負の部分とで囲まれる部分の面積$S$は
\begin{eqnarray*}
S&=&\dint_{-1}^{0}(2\sqrt{3}-3)(x+1)\,dx
+\dint_0^{\sqrt{3}}(2\sqrt{3}-3)(x+1)-(-\dfrac{1}{3}x^3+x^2)\,dx\\
&=&\left[
(2\sqrt{3}-3)(\dfrac{1}{2}x^2+x)
\right]_{-1}^{0}+
\left[
(2\sqrt{3}-3)(\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{3}x^3)
\right]_{0}^{\sqrt{3}}\\
&=&
-(2\sqrt{3}-3)(\dfrac{1}{2}-1)
+(2\sqrt{3}-3)(\dfrac{1}{2}3+\sqrt{3})-(-\dfrac{1}{12}9+\dfrac{1}{3}3\sqrt{3})\\
&=&
\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}
+\dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}-3)(3+2\sqrt{3})
+\dfrac{3}{4}-\sqrt{3}\\
&=&
\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}
+\dfrac{3}{2}
+\dfrac{3}{4}-\sqrt{3}\\
&=&\dfrac{3}{4}
\end{eqnarray*}
以上より面積は
$$\dfrac{3}{4}$$
証明終了
\end{document}
