%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　A，B，Cの3高校が野球の試合をする．まず2校が対戦して，勝った方が残りの1
校と対戦する．これをくりかえして，2連勝した高校が優勝する．A校がB，C校に勝
つ確率をそれぞれ $p$，$q$ とし，B校がC校に勝つ確率を $\dfrac{1}{2}$ とす
る．次の確率を，それぞれ求めよ．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$ とする．
\begin{enumerate}
 \item　第1戦にA校とB校が対戦した場合，A校がB校に勝って優勝する確率．
 \item　第1戦にA校とB校が対戦した場合，A校がB校に負けて優勝する確率．
 \item　第1戦にB校とC校が対戦した場合，A校が優勝する確率．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
第１戦にA校とB校が対戦した場合\\
A校が勝つ確率は$p$、次に対戦するのはC校で勝つ確率は$q$なので\\
A校が２回対戦して優勝する確率は$q$\\
２戦でA校が負けた場合、３回戦でC校はB校と戦い、C校が勝つとC校の優勝が決まるので
A校が優勝するためには、B校が勝たねばならない。
ここまでの確率は$p(1-q)\dfrac{1}{2}$\\
４戦はA校対B校となり、A校が勝つ必要がある。
したがって、第１戦と同様となりこれ以降はおなじ
よって、第１戦にA校が勝って優勝する確率$P$は
第$n$戦でA校が優勝を決める確率を$a_n$とすると\\
\begin{eqnarray*}
a_1&=&0\\
a_2&=&q\\
a_3&=&0\\
a_4&=&0\\
a_5&=&(1-q)\dfrac{1}{2}pq\\
a_6&=&0\\
a_7&=&0\\
a_8&=&(1-q)\dfrac{1}{2}p(1-q)\dfrac{1}{2}pq\\
a_9&=&0\\
a_{10}&=&0\\
a_{11}&=&(1-q)\dfrac{1}{2}p(1-q)\dfrac{1}{2}p(1-q)\dfrac{1}{2}pq\\
\cdots
\end{eqnarray*}
となる。\\
したがってA校が優勝する確率$W_b$とするとは
\begin{eqnarray*}
W_b&=&\dsum_{k=1}^{\infty} a_k\\
&=&q
+(1-q)\dfrac{1}{2}pq
+(1-q)\dfrac{1}{2}p(1-q)\dfrac{1}{2}pq
+(1-q)\dfrac{1}{2}p(1-q)\dfrac{1}{2}p(1-q)\dfrac{1}{2}pq
+\cdots\\
&=&q
+((1-q)\dfrac{1}{2}p)q
+((1-q)\dfrac{1}{2}p)^2q
+((1-q)\dfrac{1}{2}p)^3q
+\cdots\\
&=&q(1
+((1-q)\dfrac{1}{2}p)
+((1-q)\dfrac{1}{2}p)^2
+((1-q)\dfrac{1}{2}p)^3
+\cdots)\\
&=&q\dsum_{l=0}^{\infty}((1-q)\dfrac{1}{2}p)^l\\
&=&\dfrac{q}{1-((1-q)\dfrac{1}{2}p)}\\
&=&\dfrac{2q}{2-(1-q)p}
\end{eqnarray*}
2.\\
第１戦にA校がB校に負けた場合\\
第２戦でB校がC校に負けて\\
第３戦でA校がC校に勝ち\\
第４戦でA校がB校に勝てば優勝が決まる。\\
第$n$戦でA校が優勝を決める確率を$a_n$とすると\\
\begin{eqnarray*}
a_1&=&0\\
a_2&=&0\\
a_3&=&0\\
a_4&=&                  \dfrac{1}{2}qp\\
a_5&=&0\\
a_6&=&0\\
a_7&=&\dfrac{1}{2}q(1-p)\dfrac{1}{2}qp\\
a_8&=&0\\
a_9&=&0\\
a_{10}&=&\dfrac{1}{2}q(1-p)\dfrac{1}{2}q(1-p)\dfrac{1}{2}qp\\
\cdots
\end{eqnarray*}
A校が優勝する確率$L_b$とすると
\begin{eqnarray*}
L_b&=&\dsum_{k=1}^{\infty} a_k\\
&=&\dfrac{1}{2}qp
+\dfrac{1}{2}q(1-p)\dfrac{1}{2}qp
+\dfrac{1}{2}q(1-p)\dfrac{1}{2}q(1-p)\dfrac{1}{2}qp
+\cdots\\
&=&                                  \dfrac{1}{2}qp
                +(\dfrac{1}{2}q(1-p))\dfrac{1}{2}qp
              +(\dfrac{1}{2}q(1-p))^2\dfrac{1}{2}qp
+\cdots\\
&=&\dfrac{1}{2}qp\dsum_{l=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}q(1-p)\right)^l\\
&=&\dfrac{1}{2}qp\dfrac{1}{1-(\dfrac{1}{2}q(1-p))}\\
&=&\dfrac{qp}{2-q(1-p)}\\
\end{eqnarray*}

3.\\
第１戦がB校対C校だった場合\\
Aが最初の対戦でBに勝って優勝する確率を$W_b$\\
Cに勝って優勝する確率を$W_c$\\
Bに負けて優勝する確率を$L_b$\\
Cに負けて優勝する確率を$L_c$\\
とすると\\
第１戦でBが勝つ確率に、第２戦でAがBに勝つ確率$p$とAがBに勝った場合に優勝する確率$W_b$をかけたものと\\
第１戦でBが勝つ確率に、第２戦でAがBに負ける確率$1-p$とAがBに負けた場合に優勝する確率$L_b$をかけたものと\\
第１戦でCが勝つ確率に、第２戦でAが勝つ確率$q$とAがCに勝った場合に優勝する確率$W_c$をかけたものと\\
第１戦でCが勝つ確率に、第２戦でAが負ける確率$1-q$とAがCに負けた場合に優勝する確率$L_c$をかけたもの\\
を加えたものがA校が優勝する確率となる\\
よって\\
\begin{eqnarray*}
P&=&
     \dfrac{1}{2}p\dfrac{2q}{2-(1-q)p}
+\dfrac{1}{2}(1-p)\dfrac{qp}{2-q(1-p)}
+    \dfrac{1}{2}q\dfrac{2p}{2-(1-p)q}
+\dfrac{1}{2}(1-q)\dfrac{pq}{2-p(1-q)}\\
&=&\dfrac{1}{2}\left(
 \dfrac{2pq}{2-p(1-q)}
+\dfrac{pq}{2-p(1-q)}
-\dfrac{pq^2}{2-p(1-q)}
+\dfrac{qp}{2-q(1-p)}
-\dfrac{qp^2}{2-q(1-p)}
+\dfrac{2pq}{2-q(1-p)}
\right)\\
&=&\dfrac{1}{2}\left(
 \dfrac{(3-q)pq}{2-p(1-q)}
+\dfrac{(3-p)qp}{2-q(1-p)}
\right)\\
&=&\dfrac{1}{2}\left(
 \dfrac{(3-q)pq}{2-p(1-q)}
+\dfrac{(3-p)qp}{2-q(1-p)}
\right)
\end{eqnarray*}
証明終了
\end{document}

