%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$\angle\mathrm{A}=90^{\circ}$ である直角三角形ABCがある．頂点B，Cをそ
れぞれ始点として，辺BCに垂直な半直線 $l$，$m$ を頂点Aのある側にひく．次
に辺BC上の任意の点Pより辺AB，ACに垂線をひき，この延長が $l$，$m$ と交わ
る点をそれぞれQ，Rとする．
\begin{enumerate}
 \item　3点Q，A，Rは一直線上にあることを示せ．
 \item　台形BCRQの面積が三角形ABCの面積の2倍になるとき，この台形の形を求
      めよ．ただし，$\mathrm{AB}\neq \mathrm{AC}$ とする．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
\includegraphics[width=5cm,clip]{1983s_2.eps}
\\
1.\\
ABとPQは直交するのでABとPQの交点をLとすると$\angle$ALP$=90^{\circ}$\\
同様に
ACとPRの交点をMとすると$\angle$AMP$=90^{\circ}$\\
したがって四辺形ALPMは長方形となりAC$/\!/$PQ,AB$/\!/$PR\\
AB$/\!/$RPより$\angle$ABC$=\angle$RPC\\
よって$\triangle$ABCと$\triangle$CPRは相似\\
点AからBCに降ろした垂線の足をHとすると\\
$\angle$CMP$=90^{\circ}$より$\text{BH}:\text{HC}=\text{PM}:\text{MR}$\\
CAを延長した線とPQの交点をSとすると\\
CA$/\!/$PQより$\text{RS}:\text{SQ}=\text{RM}:\text{MP}$\\
以上より\\
$\text{CH}:\text{HB}=\text{RM}:\text{MP}=\text{RS}:\text{SQ}$よりHS$/\!/$RC\\
AH$/\!/$RCなのでAH$/\!/$HS\\
１点を共有する平行線は等しいのでAHSの３点は１直線上にある。\\
またCASも１直線上にあるので\\
ASは同一でない二つの直線上に同時に存在することになり、二つの直線の交点は１点に限るのでAとSは同一の点\\
したがってSはPQ上の点なのでQ,A,Rは１直線上にある。\\
2.\\
台形BCRQの面積は$\dfrac{1}{2}(\text{BQ}+\text{CR})\text{BC}$\\
三角形ABCの面積は$\dfrac{1}{2}\text{AH}\cdot \text{BC}$\\
よってBCRQの面積がABCの面積の２倍になるということは
$\dfrac{1}{2}(\text{BQ}+\text{CR})\text{BC}=2\dfrac{1}{2}\text{AH}\cdot \text{BC}$\\
となるので\\
$\dfrac{1}{2}(\text{BQ}+\text{CR})=\text{AH}$\\
とならなければならない。\\
$\text{BH}:\text{HC}=u:v$とする\\
AはPQ上にありAHはBQに平行なので\\
したがって$\text{AH}=\dfrac{1}{u+v}(u\text{CR}+v\text{BQ})$となる。\\
これが$\dfrac{1}{2}(\text{BQ}+\text{CR})$と一致するので
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{u+v}(u\text{CR}+v\text{BQ})&=&\dfrac{1}{2}(\text{BQ}+\text{CR})\\
2u\text{CR}+2v\text{BQ})&=&((u+v)\text{BQ}+(u+v)\text{CR})\\
(u-v)\text{CR}&=&(u-v)\text{BQ}\\
\end{eqnarray*}
$u = v$だった場合BH$=$HCとなり$\triangle$AHBと$\triangle$AHCは２辺とその間の角が等しい三角形なので合同となり$\text{AB}=\text{AC}$となるがこれは前提に反するので$u \neq v$\\
したがって$u-v\neq 0$なので両辺を$u-v$で割ると\\
$\text{CR}=\text{BQ}$\\
以上よりこのときの台形の形は長方形\\

証明終了
\end{document}
