%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　3つのベクトル $\Vec{\mathrm{OA}}$，$\Vec{\mathrm{OB}}$，
$\Vec{\mathrm{OC}}$ はたがいに直交している．点Oより直線BC，CA，ABに垂線を
ひき，その交点をそれぞれP，Q，Rとする．
\begin{enumerate}
 \item　四面体OPQRの四面体OABCに対する体積比を，$\Vec{\mathrm{OA}}$，
      $\Vec{\mathrm{OB}}$，$\Vec{\mathrm{OC}}$ の長さ $a$，$b$，$c$ で表せ．
 \item　四面体OPQRの体積は四面体OABCの体積の $\dfrac{1}{4}$ 以下であるこ
      とを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
PQRはそれぞれBC,CA,AB上の点なので平面ABC上の点\\
したがってPQRを底面としたときの四面体OPQRの高さはABCを底面としたきの四面体OABCの高さと一致する。\\
四面体は三角錐なのでその体積は底面の面積$S$,高さを$h$とすると$\dfrac{1}{3}Sh$なので\\
四面体OQPRと四面体OABCの体積の比は三角形PQRと三角形ABCの面積の比に一致する。\\
\\
Oを原点とし、$\tvec{OA}$を$x$軸、$\tvec{OB}$を$y$軸、$\tvec{OC}$を$z$軸、となるような
座標系をとると
A,B,Cの座標はそれぞれ$(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$となる。
Rの座標は$y=-\dfrac{b}{a}x+b$と$y=\dfrac{a}{b}x$の交点なので\\
$(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2},\dfrac{a^2b}{a^2+b^2},0)$\\
同様に\\
Qの座標は$(\dfrac{c^2a}{c^2+a^2},0,\dfrac{ca^2}{c^2+a^2})$\\
Pの座標は$(0,\dfrac{b^2c}{b^2+c^2},\dfrac{bc^2}{b^2+c^2})$\\
点PはBC上の点なので$s\dvec{b}+(1-s)\dvec{c}=\dvec{p}$となる$s$が存在する\\
したがって$s(0,b,0)+(1-s)(0,0,c)=(0,\dfrac{bc^2}{b^2+c^2},\dfrac{b^2c}{b^2+c^2})$となり\\
$sb=\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}$であるので、\\
$s=\dfrac{c^2}{b^2+c^2}$、$(1-s)=\dfrac{b^2}{b^2+c^2}$となる\\
同様に\\
$t\dvec{c}+(1-t)\dvec{a}=\dvec{q}$となる$t$は\\
$t=\dfrac{a^2}{a^2+c^2}$\\
$u\dvec{b}+(1-u)\dvec{c}=\dvec{r}$となる$u$は\\
$u=\dfrac{b^2}{a^2+b^2}$\\
以上より\\
$BP:PC=b^2:c^2$\\
$AQ:QC=a^2:c^2$\\
$AR:RB=a^2:b^2$\\
ここで三角形AQRを考える。\\
三角形ABCと三角形AQBは底辺の比が$\text{AC}:\text{AQ}$で高さが等しい三角形なので面積比は底辺の比に等しい。\\
同様に三角形AQBと三角形ARQの面積比は$\text{AB}:\text{AR}$に等しいので\\
三角形AQRと三角形ABCの面積比は$\dfrac{\text{AR}}{\text{AB}}$と$\dfrac{\text{AQ}}{\text{AC}}$の積になる。\\
したがって三角形AQRの面積は$S\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\dfrac{a^2}{a^2+c^2}$\\
同様に\\
三角形BPRの面積は$S\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\dfrac{b^2}{b^2+c^2}$\\
三角形CQPの面積は$S\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\dfrac{c^2}{b^2+c^2}$\\
となる。\\
三角形PQRの面積は三角形ABCからAQR,BPR,CQRを引いたものなので\\
\begin{eqnarray*}
T&=&S\left(1-(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\dfrac{c^2}{b^2+c^2})\right)\\
&=&S\left(\dfrac{2a^2b^2c^2}{(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)}\right)
\end{eqnarray*}
四面体OABCの体積と四面体OPQRの体積の比は上述の通り面積比と等しいので
$$\dfrac{2a^2b^2c^2}{(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)}$$
\\
2.\\
相加平均$\geqq$相乗平均より\\
$\dfrac{b^2c^4+a^2c^4+b^4c^2+a^4c^2+a^2b^4+a^4b^2}{6}\geqq \sqrt[6]{a^{12}b^{12}c^{12}}$\\
$a,b,c$のうち一つでも0であると四面体を構成できないのですべて0ではない。\\
よって$(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)>0$
\begin{eqnarray*}
(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)-2a^2b^2c^2&\geqq& 6a^2b^2c^2\\
(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)&\geqq& 8a^2b^2c^2\\
\dfrac{8a^2b^2c^2}{(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)}&\leqq& 1\\
\dfrac{2a^2b^2c^2}{(b^2+a^2)(c^2+a^2)(c^2+b^2)}&\leqq& \dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
よって、体積比は$\dfrac{1}{4}$以下\\
証明終了
\end{document}
