%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$xy$ 平面上に動点P，Qがある．Qは時刻 0 のとき点 $(0,-b)$ にあり（$b>0$），
速さ 1 で $y$ 軸上を正の向きに進む．他方Pは時刻 0 のとき $x$ 軸上の点 
$(-a,0)$ にあり（$a>0$），速さ 1 で$x$軸上を正の向きに進み，
ある時刻 $t$（$t\geqq 0$）で向きを変え，速さを $\sqrt{2}$ に変更してQに到達するように直進する
ものとする．時刻 $t$ から到達する時刻までの時間が最小になるような $t$ を
求めよ．ただし，$0<a<b$ とする．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
PがQに到達する点をMとしその座標を$(0,m)$とし、その時刻を$s$とする。
Qは$s$の時点でMに到達するので$m+b=s$となる。\\
$t \leqq s$である。\\
この間にPは$t$まで$x$軸方向に移動し、その後速度$\sqrt{2}$で$(0,m)$に向かって移動するので
$t$の時の点Pの位置$(t-a,0)$から点M$(0,m)$までの距離$\sqrt{(t-a)^2+m^2}$は速度$\sqrt{2}$で$(s-t)$の時間移動するので$(s-t)\sqrt{2}$と等しい。\\
したがって$(t-a)^2+(s-b)^2=2(s-t)^2$\\
よって\\
\begin{eqnarray*}
(t-a)^2+(s-b)^2&=&2(s-t)^2\\
t^2-2at+a^2+s^2-2bs+b^2&=&2s^2-4st+2t^2\\
s^2-4st+t^2+2at+2bs-a^2-b^2&=&0
\end{eqnarray*}
よって$s=2t-b\pm\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}$\\
$t$から到達する時間$s$までの時間は$s-t$なので
$s-t=t-b\pm\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}$\\
$\pm$の符号について考える。\\
$s-t=t-b-\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}$とすると\\
$t-b<0$の時は$t-b-\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}<0$なので$s-t>0$に反するので\\
$t-b>0$\\
しかし
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}\\
&=&2t^2-4bt+2b^2+t^2-2at+a^2\\
&=&2(t-b)^2+(t-a)^2>(t-b)^2>0\\
\end{eqnarray*}
$3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2 > (t-b)^2$となり$t-b-\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}<0$となり\\
$t-b>0$であっても$s-t<0$となるので条件に反するから\\
$s-t=t-b+\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}$でなければならない。\\
\ \\
$f(t)=t-b+\sqrt{3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2}$として\\
$f'(t)=\dfrac{\sqrt{3t^{2}+(-4b-2a)t+2b^{2}+a^{2}}+3t-2b-a}{\sqrt{3t^{2}+(-4b-2a)t+2b^{2}+a^{2}}}$\\
$3t^2+(-4b-2a)t+2b^2+a^2>0$より$f'(t)$の分母は常に実数で正なので\\
$f'(t)$の正負は分子の正負と一致する。\\
$\sqrt{2(t-b)^2+(t-a)^2}+2(t-b)+(t-a)$は\\
$2(t-b)^2+(t-a)^2<(2(t-b)+(t-a))^2$でかつ$2(t-b)+(t-a)<0$のとき負となるので\\
$2(t-b)+(t-a)<0$ならば$t<\dfrac{2b+a}{3}$より$t-b<\dfrac{a-b}{3}$であり\\
$a<b$より$a-b<0$なので$t-b<0$\\
よって$(2(t-b)+(t-a))^2-(2(t-b)^2+(t-a)^2)=2(t-b)(3t-b-2a)>0$となるのは\\
$3t-b-2a<0$のとき\\
よって$t<\dfrac{b+2a}{3}$\\
$2b+a-(b+2a)=b-a>0$より$\dfrac{2b+a}{3}>\dfrac{b+2a}{3}$なので\\
$t<\dfrac{2a+b}{3}$のとき$f'(t)<0$\\
$t=\dfrac{2a+b}{3}$のとき$f'(t)=0$\\
$t>\dfrac{2a+b}{3}$のとき$f'(t)>0$\\
よって$f(t)$は$t=\dfrac{2a+b}{3}$のとき最小となる。\\
以上より時刻 $t$ から到達する時刻までの時間が最小になるのは$t=\dfrac{2a+b}{3}$\\
証明終了
\end{document}
