%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1983年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　内側が直円すい形の容器がある．その回転軸は鉛直で，頂点が最低点，深さは 
$h$ で，上面は半径 $R$ の円である．この容器に上面まで満たされた水を，断
面積が $S$ の管を通じて．最低点からポンプで流出させるとする．水の流出速
度 $v$ は，そのときの水面の高さを $x$ とすれば，$v=kx$（$k$ は正の定数）
で与えられるようにポンプが調整されているものとする．流出し始めた時刻を 
$t=0$ として，時刻 $t$ における水面の高さ $x(t)$ を求めよ．ただし，$t$ 
は容器が空になる時刻までに限定する．（時刻 $t$ と $t+\varDelta t$ 
の間に流出する水量を $\varDelta Q$ とすれば，
$\dlim_{\varDelta t\to 0}
\dfrac{\varDelta Q}{\varDelta t}=Sv$ がなりたつ．）
\ \\
{\large 解答}\\
\\
時刻$t$における水面の高さ$x(t)$なので\\
$t$における流出速度は$v=kx(t)$
$\dlim_{\varDelta t\to 0}\dfrac{\varDelta Q}{\varDelta t}=Sv$より\\
$\dlim_{\varDelta t\to 0}\dfrac{\varDelta Q}{\varDelta t}=Skx$\\
つまり\\
時刻$t$までに流出した水量を$Q$とすると\\
$\dlim_{\varDelta t\to 0}\dfrac{Q+\varDelta Q-Q}{t+\varDelta t -t}=Skx$\\
$\dfrac{dQ}{dt}=Skx(t)$となる。\\
より$Q=f(t)$とすると\\
$f'(t)=Skx(t)$\\
$f(t)=\dfrac{\pi R^2h}{3}-\dfrac{\pi R^2x^2(t)}{3h^2}$、$f(0)=0$となので\\
$\dint_0^{t} f'(s)\,ds=f(t)-f(0)=\dfrac{\pi R^2h}{3}-\dfrac{\pi R^2x^2(t)}{3h^2}=\dint_0^{t} Skx(t)\,dt$\\
よって
$\dint_0^{t} x(s)\,ds=\dfrac{\pi R^2}{3Sk}(h-\dfrac{x^2(t)}{h^2})$\\
両辺を微分すると
$x(t)=\dfrac{\pi R^2}{3Sk}(-\dfrac{2x(t)x'(t)}{h^2})$\\
$1=\dfrac{\pi R^2}{3Sk}(-\dfrac{2x'(t)}{h^2})$\\
$-\dfrac{3Skh^2}{2\pi R^2}=x'(t)$\\
よって$x(t)=-\dfrac{3Skh^2}{2\pi R^2}t+C$
$x(0)=h$より$C=h$\\
よって
$$x(t)=-\dfrac{3Skh^2}{2\pi R^2}t+h$$
証明終了
\end{document}

