%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　定数 $c$（$c\neq 0$）に対して，等式 $f(x+c)=f(x)$ がすべての $x$ に
ついて成り立つとき，関数 $f(x)$ は周期関数であるといい，またこの等式を満
たすような正の数 $c$ のうちの最小値を， $f(x)$ の周期という．次の関数は
周期関数であることを示し，またその周期を求めよ．
\begin{enumerate}
 \item　$f(x)=2^{\sin x}$
 \item　$f(x)=\sin(\sin x)$
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$\sin x$は周期関数でその周期は$2\pi$\\
したがって$f(x)$は$f(x+2\pi)=2^{\sin (x+2\pi)}=2^{\sin x}=f(x)$となり\\
周期関数であり、少なくとも周期は$2\pi$以下である。\\
$f(x+c)=f(x)$が$0\leqq c <2\pi$で成立するとすると\\
$2^x$は単調増加でその微分係数$\log 2\,2^x$は常に正なので\\
$-1\leqq x \leqq 1$の範囲で$x$が異なるとき値は異なるので$\sin x+c=\sin x$が成立しなければならない。\\
そうすると$\sin x$の周期が$c<2\pi$となり$\sin x$の周期が$2\pi$であることに反する。\\
よって、$f(x)$の周期は$2\pi$\\
\ \\
2.\\
1と同様に$f(x)$は
少なくとも周期$2\pi$以下の周期関数である。\\
$f(x+c)=f(x)$が$0\leqq c <2\pi$で成立するとすると\\
$\sin x$は$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で単調増加で微分係数$\cos x$は常に正なので\\
$-1\leqq x \leqq 1$の範囲で$x$が異なるとき値は異なるので$\sin x+c=\sin x$が成立しなければならない。\\
そうすると$\sin x$の周期が$c<2\pi$となり$\sin x$の周期が$2\pi$であることに反する。\\
よって、$f(x)$の周期は$2\pi$\\

証明終了
\end{document}

