%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　実数 $t$ の値によって定まる点 $\mathrm{P}(t+1,t)$ と 
$\mathrm{Q}(t-1,-t)$ がある．$t$ が区間 $[0,1]=\{t\;|\;0\leqq t\leqq
1\}$ を動くとき，線分PQ が通過する範囲の面積を求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
時刻$t$における点Pを$\mathrm{P}(t)$  Qを$\mathrm{Q}(t)$とする。\\
区間$[0,1]$を整数$n$で等分しそれぞれの時刻を$t_k(0\leqq k < n)$とする\\
つまり$t_k=\dfrac{k}{n}$\\
$\mathrm{P}(t_k)\mathrm{Q}(t_k)$と$\mathrm{P}(t_{k+1})\mathrm{Q}(t_{k+1})$の交点を$\mathrm{R}(t_k)$とし三角形
$\mathrm{Q}(t_k)\mathrm{R}(t_k)\mathrm{Q}(t_{k+1})$の面積を$S(t_k)$とすると
線分PQの通過する部分の面積は
$$\dlim_{n \to \infty}\dsum_{k=0}^{n-1} S(t_k)$$
となる。\\
$\mathrm{R}(t_k)$は線分$(t_k+1,t_k)(t_k-1,-t_k)$と$(t_{k+1}+1,t_{k+1})(t_{k+1}-1,-t_{k+1})$の交点なので\\
$\mathrm{P}(t_k)\mathrm{Q}(t_k)$を通る直線の式を$y=ax+b$とすると\\
\begin{eqnarray*}
t_k=a(t_k+1)+b\\
-t_k=a(t_k-1)+b\\
\end{eqnarray*}
より\\
$a=\dfrac{k}{n},b=-\dfrac{k^2}{n^2}$\\
$\mathrm{P}(t_{k+1})\mathrm{Q}(t_{k+1})$を通る直線の式を$y=cx+d$とすると\\
$c=t_{k+1},d=-t_{k+1}^2$
となり、$t_{k+1}=t_k+1/n$なので
$c=\dfrac{k+1}{n},d=-\dfrac{(k+1)^2}{n^2}$
となる。
\begin{eqnarray*}
y=\dfrac{k}{n}x-\dfrac{k^2}{n^2}\\
y=\dfrac{k+1}{n}x-\dfrac{(k+1)^2}{n^2}
\end{eqnarray*}
より\\
\begin{eqnarray*}
n^2y=knx-k^2\\
n^2y=n(k+1)x-(k+1)^2\\
knx-k^2=nkx+nx-k^2-2k-1\\
nx-2k-1=0\\
nx=2k+1\\
x=\dfrac{2k+1}{n}\\
y=\dfrac{k(k+1)}{n^2}
\end{eqnarray*}
よって$\mathrm{R}(t_k)=(\dfrac{2k+1}{n},\dfrac{k(k+1)}{n^2})$\\
このとき面積$S(t_k)$は\\
\begin{eqnarray*}
S(t_k)&=&(\dfrac{2k+1}{n}-(\dfrac{k}{n}-1))(\dfrac{k(k+1)}{n^2}-(-\dfrac{k+1}{n}))\\
& &-\dfrac{1}{2}(\dfrac{2k+1}{n}-(\dfrac{k}{n}-1))(\dfrac{k(k+1)}{n^2}-(-\dfrac{k}{n}))\\
& &-\dfrac{1}{2}(\dfrac{2k+1}{n}-(\dfrac{k+1}{n}-1))(\dfrac{k(k+1)}{n^2}-(-\dfrac{k+1}{n}))\\
& &-\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n^2})\\
&=&\dfrac{(n+k)(n+k+1)}{2n^{3}}\\
\end{eqnarray*}
よって
\begin{eqnarray*}
\dsum_{k=0}^{n-1} S(t_k)&=&\dsum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(n+k)(n+k+1)}{2n^3}\\
&=&\dfrac{1}{2n^3}\dsum_{k=0}^{n-1}(n+k)(n+k+1)\\
&=&\dfrac{1}{2n^3}\dsum_{k=0}^{n-1} n^2+2kn+n+k^2+k\\
&=&\dfrac{1}{2n^3}(n^3+n^2+(2n+1)\dsum_{k=0}^{n-1} k+\dsum_{k=0}^{n-1} k^2)\\
&=&\dfrac{1}{2n^3}(n^3+n^2+(2n+1)\dfrac{n(n-1)}{2}+\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6})\\
&=&\dfrac{1}{12n^3}(6n^3+6n^2+6(2n+1)n(n-1)+n(n-1)(2n-1))\\
&=&\dfrac{20n^3+3n^2+5n}{12n^3}\\
&=&\dfrac{5}{3}+\dfrac{3n+5}{12n^2}
\end{eqnarray*}
したがって\\
\begin{eqnarray*}
\dlim_{n \to \infty}\dsum_{k=0}^{n-1} S(t_k)&=&
\dlim_{n \to \infty}\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{3n+5}{12n^2}\right)\\
&=&\dfrac{5}{3}
\end{eqnarray*}
よって面積は
$$\dfrac{5}{3}$$

証明終了
\end{document}
