%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$f(x)$ と $g(x)$ はいずれも $x$ の整式で，次の条件を満たしているとする．
\begin{enumerate}
 \item[（イ）]　$f(x)=\{g(x)\}^2+a$（ただし$a$はある実数．）
 \item[（ロ）]　$g'(x)=x+1$（ただし，$g'(x)$ は $g(x)$ の導関数を表す．）
 \item[（ハ）]　$f(-1)=f(1)=0$
\end{enumerate}
　実数 $k$ を定数とするとき，$y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)+k$ のグラフとの
（$k$ の値によって変わる）交点の個数を求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$g'(x)=x+1$より、$g(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+C$\\
したがって、$f(x)=(\dfrac{x^2}{2}+x+C)^2+a$\\
$f(-1)=f(1)=0$より,\\
\begin{eqnarray*}
(\dfrac{(-1)^2}{2}+(-1)+C)^2+a=0\\
(\dfrac{(1)^2}{2}+(1)+C)^2+a=0\\
\end{eqnarray*}
これを計算すると、
\begin{eqnarray*}
(\dfrac{1}{2}-1+C)^2+a=(C-\dfrac{1}{2})^2+a=0\\
(\dfrac{1}{2}+1+C)^2+a=(C+\dfrac{3}{2})^2+a=0\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(C-\dfrac{1}{2})^2-(C+\dfrac{3}{2})^2=0\\
((C-\dfrac{1}{2})-(C+\dfrac{3}{2}))((C-\dfrac{1}{2})+(C+\dfrac{3}{2}))=0\\
(-2)(2C+1)=0
\end{eqnarray*}
よって、$C=-\dfrac{1}{2}$\\
$(\dfrac{(1)^2}{2}+(1)+C)^2+a=0$に代入して\\
\begin{eqnarray*}
(\dfrac{(1)^2}{2}+1-\dfrac{1}{2})^2+a=0\\
a+1=0
\end{eqnarray*}
よって$a=-1$となる。
以上より、\\
$f(x)=(\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{1}{2})^2-1$\\
$g(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{1}{2}$\\
$y=f(x)$と$y=g(x)+k$の交点の個数は$f(x)-g(x)-k=0$の解の数に等しい\\
\begin{eqnarray*}
f(x)-g(x)-k&=&(\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{1}{2})^2-1-\dfrac{x^2}{2}-x+\dfrac{1}{2}-k\\
&=&(\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{1}{2})^2-1-\dfrac{x^2}{2}-x+\dfrac{1}{2}-k\\
&=&\dfrac{x^4+4\,x^3-8\,x-4\,k-1}{4}
\end{eqnarray*}
$h(x)=f(x)-g(x)-k$とすると\\
$h'(x)=(x+1)(x^2+2x-2)$\\
となり、$x=-1,-1\pm\sqrt{3}$で極値をとる。\\
$h(-1)=\dfrac{1-4+8-4\,k-1}{4}=\dfrac{4-4\,k}{4}=1-k$\\
$h(-1\pm\sqrt{3})=\dfrac{-5-4\,k}{4}=-\dfrac{5}{4}-k$\\
$h(x)$の増減表を作ると\\
\begin{tabular}[c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$&&$-1-\sqrt{3}$&&$-1$&&$-1+\sqrt{3}$&\\ \hline
$h(x)$&$\searrow$&$-\dfrac{5}{4}-k$&$\nearrow$&$1-k$&$\searrow$&$-\dfrac{5}{4}-k$&$\nearrow$\\
\hline
\end{tabular}\\
したがって、
$-\dfrac{5}{4}-k>0$つまり$k<-\dfrac{5}{4}$のときは交点は無し\\
$-\dfrac{5}{4}-k=0$つまり$k=-\dfrac{5}{4}$のときは交点は$2$\\
$-\dfrac{5}{4}-k<0,1-k>0$つまり$k>-\dfrac{5}{4}$かつ$k<1$のときは交点は$4$\\
$1-k=0$つまり$k=1$のときは交点は$3$\\
$1-k<0$つまり$k>1$のときは交点は$2$\\
となる\\
\\
以上をまとめると\\
\begin{tabular}[c]{|c|c|}
\hline
$k$&交点\\ \hline
$k<-\dfrac{5}{4}$&$0$\\ \hline
$k=-\dfrac{5}{4}$&$2$\\ \hline
$k>-\dfrac{5}{4}$かつ$k<1$&$4$\\ \hline
$k=1$&$3$\\ \hline
$k>1$&$2$\\ \hline
\end{tabular}\\
\\
証明終了
\end{document}
