%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
つぼの中に $r$ 個（$r\geqq 1$）の赤球と，$s$ 個（$s\geqq 0$）の白球が
入っている．AとBの2人が，交互に球を1個ずつとり出し，先に赤球をとり出した
者を勝者とするゲームをする．ただし，とり出した球は，もとにもどさないもの
とする．
\begin{enumerate}
 \item　ちょうど $i$ 回目（すなわちA，B 2人のとり出した球の合計が，ちょう
      ど $i$ 個になった時）に勝者がきまる確率を $P_i$ とするとき，
      $P_i\geqq P_{i+1}$（$i=1$，2，$\cdots$）となることを示せ．
 \item　このゲームをAからはじめるとする．任意の $r$，$s$ に対して，Aが勝
      者となる確率は，$\dfrac{1}{2}$ またはそれ以上であることを示せ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\begin{enumerate}
\item 
１回目でが勝者が決まる確率は$\dfrac{r}{r+s}$\\
したがって１回目で勝者が決まらない確率は$\dfrac{s}{r+s}$\\
$i$回目で勝者が決まるためには、$i-1$回目まで勝者が決まらないことが必要。\\
$n$回目まで勝者が決まらなかったということはこれまでに$n$ 個の白球が取り出されていることになり
$n$回目まで勝者が決まらなかった確率を$Q_n$とすると$n+1$回目にも勝者が決まらない確率は$Q_{n+1} = \dfrac{s-n}{r+s-n}Q_n$となる\\
$P_i=Q_{i-1}\dfrac{r}{r+s-(i-1)}$\\
$P_{i+1}=Q_i\dfrac{r}{r+s-i)}$\\
$Q_{n+1} = \dfrac{s-n}{r+s-n}Q_n$より$Q_i=\dfrac{s-(i-1)}{r+s-(i-1)}Q_{i-1}$なので\\
$P_{i+1}=\dfrac{s-(i-1)}{r+s-(i-1)}\dfrac{r}{r+s-i}Q_{i-1}$\\
\begin{eqnarray*}
\dfrac{P_{i+1}}{P_i}&=&\dfrac{\dfrac{s-(i-1)}{r+s-(i-1)}\dfrac{r}{r+s-i}Q_{i-1}}{Q_{i-1}\dfrac{r}{r+s-(i-1)}}\\
&=&\dfrac{s-(i-1)}{r+s-(i-1)}\dfrac{r}{r+s-i}\dfrac{r+s-(i-1)}{r}\\
&=&\dfrac{r(s-(i-1))(r+s-(i-1))}{r(r+s-(i-1))(r+s-i)}\\
&=&\dfrac{s-(i-1)}{(r+s-i)}\\
\end{eqnarray*}
$r \geqq 1$より$s-i+1 \leqq s-i+r$なので、$\dfrac{P_{i+1}}{P_i}  \leqq 1$\\
以上により、
$$P_i \geqq P_{i+1}$$
\item
ゲームをAから始めるとすると、奇数回目にAが引き、偶数回目にBが引くことになる。\\
$s$が奇数の場合Aが勝つ確率は$P_A=P_1+P_3+P_5+P_7\dots+P_s$\\
Bが勝つ確率は$P_B=P_2+P_4+P_6+P_8\dots+P_{s+1}$\\
$s$が偶数の場合はAが勝つ確率は$P_A=P_1+P_3+P_5+P_7\dots+P_{s+1}$\\
Bが勝つ確率は$P_B=P_2+P_4+P_6+P_8\dots+P_s$\\
となる。\\
どちらにしても、1で示したとおり$P_i \geqq P_{i+1}$なので、常に
$P_1 \geqq P_2,P_3 \geqq P_4,\dots$となり、$P_A \geqq P_B$\\
$P_A+P_B=1$なので、
$$P_A \geqq \dfrac{1}{2}$$
\end{enumerate}

\end{document}
