%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　方程式 $xy=1$ によって与えられる双曲線を $C$ とし，また次のように，行
列 $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ によって定義される1次変換
を $f$ とする．$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$\\
　1次変換 $f$ が双曲線 $C$ を $C$ 自身の上へ写すための（$a$，$b$，$c$，
$d$ についての）必要十分条件を求めよ． 
\ \\
{\large 解答}\\
\\
A$=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
$とおく\\
$x'=ax+by$,$y'=cx+dy$である。\\
この点$(x',y')$が$C$の上にあるためには\\
$x'y'=1$であることが必要なので\\
$(ax+by)(cx+dy)=acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2=1$であることが必要。\\
$xy=1$なので$acx^2+bdy^2+(ad+bc)=1$また$x\neq 0,y\neq0$なので\\
$y=\dfrac{1}{x}$を代入すると\\
$acx^2+bd\dfrac{1}{x^2}+(ad+bc)=1$\\
両辺に$x^2$をかけて\\
$acx^4+bd+(ad+bc)x^2=x^2$\\
$acx^4+bd+((ad+bc)-1)x^2=0$\\
これが任意の$x$について成立しなければならないので\\
$ac=0,bd=0,ad+bc=1$が成立しなければならない。\\
$a=0$とすると$bc=1$である必要があるので$b\neq 0,c\neq 0,c=\dfrac{1}{b}$なので$d=0$\\
よって
A$=
\begin{pmatrix}
0&b\\
\dfrac{1}{b}&0
\end{pmatrix}
$
このとき$x'=by,y'=\dfrac{x}{b}$となり\\
$x'y'=\dfrac{xby}{b}=xy=1$\\
またAの逆行列は$ad-bc=-1$より\\
$\text{A}^{-1}=
\begin{pmatrix}
0&b\\
\dfrac{1}{b}&0
\end{pmatrix}
$となり、存在するので任意の点Qに写る点Pが存在する。\\
したがって、$f$は$C$を$C$の上に写す。\\

$c=0$とすると$ad=1$である必要があるので$d\neq 0,a\neq 0,d=\dfrac{1}{a}$なので$b=0$\\
A$=
\begin{pmatrix}
a&0\\
0&\dfrac{1}{a}
\end{pmatrix}
$
このとき$x'=ax,y'=\dfrac{y}{a}$となり\\
$x'y'=\dfrac{axy}{a}=xy=1$\\
Aの逆行列は同様に$ad-bc=1$より\\
$\text{A}^{-1}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{a}&0\\
0&a
\end{pmatrix}
$となり、存在するので任意の点Qに写る点Pが存在する。\\
したがって、$f$は$C$を$C$の上に写す。\\

以上より$a,b,c,d$について
$$a=0,b\neq 0,c=\dfrac{1}{b},d=0$$
または
$$a\neq 0,b=0,c=0,d=\dfrac{1}{a}$$
が必要十分。\\

証明終了
\end{document}

