%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
定数 $c$（$c\neq 0$）に対して，等式 $f(x+c)=f(x)$ がすべての $x$ に
ついて成り立つとき，関数 $f(x)$ は周期関数であるといい，またこの等式を満
たすような正の数 $c$ のうちの最小値を $f(x)$ の周期という．\\
　次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数で
ある場合には，その周期を求めよ．
\begin{enumerate}
 \item　$f(x)=\sin(\sin x)$
 \item　$f(x)=\cos(\sin x)$
 \item　$f(x)=\sin(x^3)$
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\begin{enumerate}
 \item　$f(x)=\sin(\sin x)$\\
$f(x+c)=\sin(\sin (x+c))$、$f(x)=\sin(\sin x)$なので\\
少なくとも$c=2\pi$とすると$\sin(x+c)=\sin(x)$より、$f(x+c)=f(x)$となり、\\
$f(x)=\sin(\sin x)$は周期関数\\
$c$が$2\pi$より小さいと仮定する。\\
この時$\sin x$の値域は$-1$から$1$の範囲となるが、$\sin x$は$-1 \geqq x \geqq 1$の範囲で常に微分係数$\cos x$が正($>0$)なので全単射、\\
よって$\sin(\sin(x+c)) = \sin(\sin x)$ならば$\sin(x+c) = \sin x$が成立する。\\
加法定理$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha \cos\beta \pm \cos \alpha \sin \beta$より
$\sin(x+c) = \sin x \cos c + \cos x \sin c = \sin x$\\
$\sin x (\cos c - 1) = -\cos x \sin c$となるような定数($\cos c-1,\sin c$)が必要\\
この式が任意の$x$について成立するような定数は0以外にはないので、$\sin c =0$かつ$\cos c = 1$であることが必要。\\
しかし$0 < c < 2\pi$の範囲ではこのような値は取り得ない。\\
よって$c \geqq 2\pi$以上となる。\\
以上より$\sin x$は周期関数で周期は$2\pi$\\
したがって
\begin{center}
$f(x)=\sin(\sin x)$は周期関数で周期は$2\pi$
\end{center}
\item　$f(x)=\cos(\sin x)$\\
1.と同様に少なくとも$c=2\pi$とすると$\sin(x+c)=\sin(x)$より、$f(x+c)=f(x)$となり、\\
$f(x)=\cos(\sin x)$は周期関数\\
$\cos x$は偶関数なので$\cos x = \cos -x$\\
したがって$\cos(\sin x) = \cos(-\sin x)$また$\sin(x+\pi) = -\sin(x)$となるので\\
$$\cos(\sin(x+\pi)) = \cos(-\sin x)=\cos(\sin x)$$
以上により$c=\pi$においても$f(x+c)=f(x)$が成立する。\\
次に$0<c<\dfrac{\pi}{2}$において考える\\
$0<x<\pi$の範囲では、$0<\sin x<1$\\
$0< x <1$の範囲で$\cos x$は微分係数$-\sin x$が常に負($<0$)なのでこの範囲では全単射\\
$0<x<\dfrac{\pi}{2}$かつ$0<c<\dfrac{\pi}{2}$なので$0<x+c<\pi$
したがって、$\cos(\sin x) = \cos(\sin(x+c)) $が任意の$x$で成立するためには$\sin x = \sin(x+c)$となる。\\
しかし、$\sin x$の周期は$2\pi$なので、このような$c$は存在しない。\\
$\dfrac{\pi}{2} \leqq c < \pi$において考える\\
$\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$の区間で$\pi < x+c <2\pi$となる。\\
この区間では$\sin(x+c) = -\sin(x+c-\pi)$となるので$\cos(\sin x)=\cos(\sin(x+c))$が成立するためには\\
$\cos(\sin x) = \cos(-\sin(x+c-\pi))$が成立すればよい。\\
したがって$\cos(\sin x)=\cos(\sin(x+c-\pi))$となりこの区間でみれば両辺とも全単射になるので$\sin x = \sin(x+c-\pi)$が必要。\\
$\sin x$の周期は$2\pi$なので$\sin(x+c-\pi)=\sin(x+c+\pi)$となる。\\
しかし$\dfrac{\pi}{2} \leqq c < \pi$なので$c+\pi<2\pi$となり$\sin x$の周期が$2\pi$ であることと矛盾する。\\
よって$c$はこの範囲にありえない。\\
以上より
\begin{center}
$f(x)=\cos(\sin x)$は周期関数で、周期は$\pi$
\end{center}
\item　$f(x)=\sin(x^3)$\\
周期関数の定義から導関数が存在すれば、その導関数も同じ周期の周期関数となる。\\
$$f'(x+c)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+c+h)-f(x+c)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(xh)-f(x)}{h}=f'(x)$$
$f(x)$の導関数は$f'(x) = 3x^2\cos(x^3)$となる。\\
$f'(x)$が周期関数であれば、$0\leqq x \leqq c$の範囲の値が繰り返されるはずなので、この区間に最大値があれば全域での最大値にならねばならない。\\
$f'(x)$において任意の有限の値$c$をとったとき、0から$c$までの範囲の最大値は$3c^2$を超えることはないが、全域においては最大値が存在しない。\\
よって、$f'(x)$は周期関数ではない。\\
したがって、
\begin{center}
$f(x)=\sin(x^3)$は周期関数ではない。
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}

