%2010/10/31 
%Copyright 2010 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
　実数 $t$ の値によって定まる点 $\mathrm{P}(t+1,t)$ と 
$\mathrm{Q}(t-1,-t)$ がある．
\begin{enumerate}
 \item　$t$ がすべての実数を動くとき，直線PQが通過する範囲を図示せよ．
 \item　$t$ が区間 $[0,1]=\{t\;|\;0\leqq t\leqq 1\}$ を動くとき，線分PQ
      が通過する範囲の面積を求めよ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\begin{enumerate}
 \item　\\
\includegraphics[width=6cm,clip]{1984s_3.eps}
 \item　　$t$ が区間 $[0,1]=\{t\;|\;0\leqq t\leqq 1\}$ を動くとき，線分PQが通過する範囲の面積\\
Pの移動する線分を線分pとする。
線分PQは$y=tx-t^2$で表される。\\
$n$を整数として、$t$の区間$[0,1]$を$n$等分し、$t_i=\dfrac{i}{n}$とする。\\
そのときの点PQをそれぞれ$\mathrm{P}_i$　$\mathrm{Q}_i$とし、線分を$\mathrm{PQ}_i$とする。\\
\includegraphics[width=8cm,height=8cm]{1984s_3_2.eps}\\
線分$\mathrm{PQ}_{i-1}$と$\mathrm{PQ}_i$の交点$\mathrm{R}_i$とすると線分PQが通過する範囲の面積は
三角形$\mathrm{R}_i\mathrm{P}_{i-1}\mathrm{P}_i$の面積を$i=1\to n$まで加算し、$n$の極限を取った物となる。\\
三角形$\mathrm{R}_i\mathrm{P}_{i-1}\mathrm{P}_i$は$\mathrm{P}_{i-1}\mathrm{P}_i$を底辺と考え交点$\mathrm{R}_i$から線分pにおろした垂線を高さとする三角形となる。\\
底辺$\mathrm{P}_{i-1}\mathrm{P}_i$長さは$t_i$と$t_{i-1}$の差$\dfrac{1}{n}$の$\sqrt{2}$倍なので$\dfrac{\sqrt{2}}{n}$となる。\\
線分pは45度に傾いているので、垂線の長さは交点$\mathrm{R}_i$と線分pの$y$座標の値の差の$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$倍となる。\\
$y=t_ix-t_i^2$と$y=t_{i-1}x-t_{i-1}^2$の交点は$(t_i+t_{i-1},t_it_{i-1})$となり、\\
同じ$x$座標の直線p上の点は$(t_i+t_{i-1},t_i+t_{i-1}-1)$なので、$y$座標の差は$t_it_{i-1}-t_i+t_{i-1}+1$となるので、\\
垂線の長さは$\dfrac{t_it_{i-1}-t_i+t_{i-1}+1}{\sqrt{2}}$となる。\\
$t_i=\dfrac{i}{n}$なので、垂線の長さは\\
$$\dfrac{t_it_{i-1}-t_i+t_{i-1}+1}{\sqrt{2}} = \dfrac{i(i-1)-2in+n+n^2}{\sqrt{2}n^2} = \dfrac{(n-i)(n-i+1)}{\sqrt{2}n^2}$$
となる。\\
従って、面積は
$$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{(n-i)(n-i+1)}{\sqrt{2}n^2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{n}=\dfrac{(n-i)(n-i+1)}{2n^3}$$
これを1からnまで加えた物が$x$軸より上側の面積となるので、
\begin{eqnarray*}
S_n&=&\sum_{i=1}^n\dfrac{(n-i)(n-i+1)}{2n^3}\\
&=&\sum_{i=1}^n\dfrac{i^2-(2n+1)i+n^2+n}{2n^3}\\
&=&\dfrac{1}{2n^3}\sum_{i=1}^ni^2-(2n+1)i+n^2+n\\
&=&\dfrac{1}{2n^3}\left(\dfrac{1}{6}n(n-1)(2n-1)-(2n+1)\left(\dfrac{1}{2}n(n-1)\right)+n^3+n^2\right)\\
&=& \dfrac{n^2+3n+2}{6n^2}
\end{eqnarray*}
nの極限を取ると
$$\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{1}{6}$$
$x$軸より下の部分の面積が1なのでこれを加算して
$$\dfrac{7}{6}$$
\end{enumerate}
\end{document}
