%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
　空間に三角形ABCがあるとし，空間の原点Oは，この三角形が決定する平面上に
はないとする．
\begin{enumerate}
 \item　実数 $u$，$v$，$w$ が，等式 
      $u\Vec{\mathrm{OA}}+v\Vec{\mathrm{OB}}+w\Vec{\mathrm{OC}}=\Vec{0}$ 
      を満たすならば，$u=v=w=0$ であることを示せ．
 \item　辺BC，CA，ABの長さを，それぞれ $a$，$b$，$c$ とし，三角形ABCの内
      接円の中心をPとすると，等式 
      $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}+w\Vec{\mathrm{OC}}$ が成立するという．$u$，$v$，$w$ を $a$，$b$，$c$ を用いて表せ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\begin{enumerate}
\item　\\
$u,v,w$のうちどれかひとつが0ではなく残りの二つが0であったとする。\\
$u$が0でないならば、$u\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{0}$となるが、原点Oは三角形ABCの決定する平面上にないので、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \ne \overrightarrow{0}$\\
したがって$u=0$となる。\\
$u,v,w$は対等なので、同様に$u,v,w$のうちひとつだけが0ではないという事はない。\\
$u,v,w$のうちひとつだけが0であるとする\\
仮に$w$が0だとすると\\
$u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{0}$\\
となり、$u\overrightarrow{\mathrm{OA}}=-v\overrightarrow{\mathrm{OB}}$\\となる。
これは、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表されることになるので、OABが一直線上に存在することを意味する。\\
しかし、原点Oは三角形ABCの決定する平面上にないので矛盾する。したがって$w$のみが0であることはない。\\
$u,v,w$は対等なので、同様に$u,v,w$のうちひとつだけが0ということはない。\\
$u,v,w$すべてが０でないとする。\\
$u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}+w\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$ なので
$-\dfrac{u}{w}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\dfrac{v}{w}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$\\となり
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表されることになる。\\
これは、点Cが三点OABの決定する平面上にあることを意味するが、点Oが三角形ABCの決定する平面上にあることと矛盾する。\\
したがって、$u,v,w$のすべてが０以外とはならない。\\
以上により、$u,v,w$はすべて0である。\\
\item　\\
三角形ABCの決定する平面上の点Qをとると点Pは内心なので$\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\dfrac{a\overrightarrow{\mathrm{QA}}+b\overrightarrow{\mathrm{QB}}+c\overrightarrow{\mathrm{QC}}}{a+b+c}$となる。\\
点Oからのベクトルで考えると\\
$\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$\\
$\overrightarrow{\mathrm{QA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$\\
$\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$\\
$\overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$\\
と書けるので
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\mathrm{QP}}&=&\dfrac{a\overrightarrow{\mathrm{QA}}+a\overrightarrow{\mathrm{QB}}+a\overrightarrow{\mathrm{QC}}}{a+b+c}\\
&=&\dfrac{a(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}})+b(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}})+c(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}})}{a+b+c}\\
&=&\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OA}}-a\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}-b\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}-c\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
}{a+b+c}\\
&=&\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}
}{a+b+c}-\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
}{a+b+c}\\
&=&\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}
}{a+b+c}
-\dfrac{(a+b+c)\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{a+b+c}
\\
&=&\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}
}{a+b+c}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\\
\end{eqnarray*}
となり
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}
}{a+b+c}$$
となる。
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$$
なので
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{
a\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}
+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}
}{a+b+c}$$
となり
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=
\dfrac{a}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OA}}
+\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OB}}
+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OC}}
$$
よって
$$u=\dfrac{a}{a+b+c}$$
$$v=\dfrac{b}{a+b+c}$$
$$w=\dfrac{c}{a+b+c}$$
\end{enumerate}
\end{document}
