%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1984年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
　区間 $[a,b]=\{x\;|\;a\leqq x\leqq b\}$ で定義された関数 $f(x)$ につい
て，次のことを仮定する．
\begin{enumerate}
 \item[(イ)]　関数 $f(x)$ は連続であり，さらに $f(x)$ およびその導関数 
	    $f'(x)$ について，微分と積分を自由に行うことができる． 
 \item[(ロ)]　区間 $[a,b]$ で，つねに不等式 $a\leqq f(x)\leqq b$ が成り
	    立つ． 
 \item[(ハ)]　区間 $[a,b]$ でつねに不等式 $|f'(x)|\leqq k<1$ が成り立つ
	    ような定数 $k$ が存在する．
\end{enumerate}
　このとき，次の問に答えよ．
\begin{enumerate}
 \item　等式 $f(c_0)=c_0$ を満たす値 $c_0$ が，区間 $[a,b]$ の中に，ただ
      1つ存在することを，簡単に説明せよ．
 \item　区間 $[a,b]$ の中の（任意の）1つの値 $d_0$ から出発して，
      $d_1=f(d_0)$，$d_{n+1}=f(d_n)$（$n=1$，$2$，$\cdots$）とおく．この
      とき，不等式 $|d_n-c_0|\leqq k^n|d_0-c_0|$（$n=1$，$2$，$\cdots$）
      が成立することを示せ．ただし，$c_0$ は問(1)に述べられている値とす
      る．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\begin{enumerate}
\item　等式$f(c_0)=c_0$ を満たす値$c_0$が存在するということは、$g(x)=x$との交点が存在することと等しく\\
つまり$f(x)-g(x)=0$となる点$x$が存在することと等しい。\\
$h(x)=f(x)-g(x)$とすると$g'(x)=1$でかつ$|f'(x)|<1$なので$h'(x)=f'(x)-g'(x)<0$が常に成立する。\\
よって$h(x)$は単調減少。
またこの区間で$a\leqq f(x) \leqq b$が常に成立するので$a \leqq f(a) \leqq b$かつ$a \leqq f(b) \leqq b$\\
$g(x)=x$ なので$h(a)=f(a)-g(a)\geqq 0$かつ$h(b)=f(b)-g(b) \leqq 0$\\
しかし$h(a) = 0$かつ$h(b)=0$だとすると$f(a)=a$かつ$f(b)=b$となり平均値の定理から$f'(x)=1$となる点がこの区間に存在することとなり条件に反するので$h(a),h(b)$のいずれかは0ではない。\\
以上より中間値の定理により$h(a)=0$となる点がただ一つ存在する。\\
したがって$f(c_0)=c_0$となる$c_0$がただ一つ存在する。
\item
$y=f(x)$のグラフは点$(c_0,f(c_0))$を通り傾き$\pm k$の直線で挟まれた領域で変化する。\\
この直線の範囲から出る点$f(x),x)$があったとすると$f(x)$の値が$c_0 \pm k(x-c_0)$の値より大きいか小さいことになり\\
平均値の定理より$[c_0,x]$の区間で、$(f'(x)|>k$となる点が存在することになるので、すべての点$(f(x),x)$は上記の直線に挟まれた範囲にある。\\
従って、常に$|f(x)-c_0|\leqq |k(x-c_0)|$となり、\\
$|d_n-c_0|\leqq k|d_{n-1}-c_0|$（$n=1$，$2$，$\cdots$）が成立する\\
よって、$|d_n-c_0|\leqq k^n|d_0-c_0|$（$n=1$，$2$，$\cdots$）が成立する。\\
\end{enumerate}
\end{document}
