%2005/04/19 16:17
%Copyright 2005 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1985年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$b$，$c$ は実数とし，$x^2+2bx+c=0$ の2根を $\alpha$，$\beta$ とする．
\begin{enumerate}
 \item　$b^2-c<0$，$b\neq 0$ とすれば，いかなる複素数 $\gamma$ に対し
      ても $\gamma=t\alpha+u\beta$ となる実数 $t$，$u$ が存在することを
      示せ．
 \item　$f(x)=x^2+2(b-1)x+5-c$ とおくとき，次の条件（$*$）を満たす点 
      $(b,c)$ 全体の集合 $D$ を決定し，図示せよ．\\
　　（$*$） $t$，$u$ がともに実数なら，$f(t\alpha+u\beta)\neq 0$
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$x^2+2bx+c=(x+b)^2-b^2+c=0$より、
$(x+b)^2=b^2-c$\\
よって、$b^2-c<0$かつ$b \neq 0$ならば、$(x+b)$は虚数で、$p$を実数,$i$を虚数単位として$x+b=\pm pi$と表せる。
$b^2-c \neq 0$より$p \neq 0$\\
したがって$x=-b \pm pi\ \ ((pi)^2=b^2-c)$\\

このとき、$\alpha,\beta$は、この解なので、$\alpha=-b+pi \beta=-b-pi$と表せる。
ここで、任意の複素数$\gamma=q+ri$($q,r$は実数)について、\\
$t\alpha+u\beta=\gamma$つまり
$-bt+pti+-bu-pui=-b(t+u)+pi(t-u)=q+ri$\\
$t+u=-\dfrac{q}{b}$\\
$t-u=\dfrac{r}{p}$\\
となる(条件から$b,p$はともに0ではない)\\
よって、これを$t,u$について解くと\\
$t=-\dfrac{q}{2b}+\dfrac{r}{2p}$
$u=-\dfrac{q}{2b}-\dfrac{r}{2p}$
となり、任意の$\gamma$について$t,u$は存在する。\\

2) 
$\alpha,\beta$はともに$x^2+2bx+c=0$の解なので
$\alpha+\beta=-2b,\alpha\beta=c$となる。\\
$g(x)=x^2+2bx+c$とすると

$f(x)=x^2+2(b-1)x+5-c=x^2+2bx+c-2x+5=g(x)-2x+5$より\\
\begin{eqnarray*}
f(t\alpha+u\beta)&=&g(t\alpha+u\beta)-2(t\alpha+u\beta)+5\\
&=&(t\alpha+u\beta)^2+2b(t\alpha+u\beta)+c-2(t\alpha+u\beta)+5\\
&=&t^2\alpha^2+2tu\alpha\beta+u^2\beta^2+2bt\alpha+2bu\beta+c-2(t\alpha+u\beta)+5\\
&=&t^2\alpha^2+2tuc+u^2\beta^2+2bt\alpha+2bu\beta+c-2(t\alpha+u\beta)+5
\end{eqnarray*}

証明終了
\end{document}
