%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
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\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1986年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
すべては 0 でない $n$ 個の実数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ があり，
$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$ かつ $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$ を満た
すとき，$a_1+2a_2+\cdots+na_n>0$ が成り立つことを証明せよ．
\\
{\large 解答}\\
\\
\begin{eqnarray}
a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n \label{eq.1}\\
a_1+a_2+\cdots+a_n=0 \label{eq.2}
\end{eqnarray}
(\ref{eq.1})より数列、$a_1,a_2,\cdots,a_n$は単調増加\\
$f(n)=a_n$を満たす実数関数で連続かつ単調増加なものが構成できる。\\
1例として以下のものを考える。\\
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
(a_2-a_1)(x-1)+a_1\;(1 \leqq x < 2)\\
\vdots\\
(a_k-a_{k-1})(x-(k-1))+a_{k-1}\;(k-1 \leqq x < k)\\
\vdots\\
(a_n-a_{n-1})(x-(n-1))+a_{n-1}\;(n-1 \leqq x \leqq n)
\end{cases}
\end{equation*}
この$f(x)$は$a_k>a_{k-1}$より各区間において単調増加であり各区間においては連続\\
また、各区間の端点において同一の値を持つので全区間で連続である。\\
よって各区間単調増加で全区間で連続なので、全区間で単調増加である。\\
次に、(\ref{eq.1})\\
$a_1 \geqq 0$なら、$a_k \geqq 0 (k>1)$\\
(\ref{eq.1})の左辺$a_1+a_2+\cdots+a_n \geqq 0$\\
しかしすべては０でないので少なくとも一つ0でない$a_k$が存在することになり
$a_1+a_2+\cdots+a_n > 0$\\
しかし、これは前提(1)に反するので
\begin{equation}
a_1<0
\label{eq.a1}
\end{equation}
同様に、$a_n \leqq 0$とすると$a_1+a_2+\cdots+a_n < 0$\\
となり、やはり前提(1)に反するので
\begin{equation}
a_n>0
\label{eq.an}
\end{equation}
区間$[1 \leqq x \leqq n]$で考えたとき
$f(1)=a_1<0$かつ$f(n)=a_n>0$なので中間値の定理により
$f(y)=0$となる実数$y(1 < y < n)$が存在する。
((\ref{eq.a1})と(\ref{eq.an})より$y=1,y=n$の場合あり得ない)\\
そのとき$y$は実数で、$(1 < y < n)$であるから$k \leqq y < k+1$となる整数$k(1 \leqq k < n)$が存在する。\\
そのとき、$f(x)$は単調増加なので$f(k) \leqq f(y)=0 \leqq f(k+1)$となる。\\
従って、$a_k \leqq 0 \leqq a_{k+1}$\\
よって推移律より$a_i\leqq 0\;(1 \leqq i \leqq k)$\\
同様に$a_j \geqq 0\;(k+1 \leqq j \leqq n)$\\
以下$k$をこのような整数とする。\\
\\
次に、$a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n$を考えると
この式は\\
\begin{equation}
(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(a_2+2a_3+\cdots+(n-1)a_n)
\label{eq.3}
\end{equation}
と変形できる。\\
(\ref{eq.2})より
\begin{equation}
(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(a_2+2a_3+\cdots+(n-1)a_n)=(a_2+2a_3+\cdots+(n-1)a_n)
\end{equation}
おなじ変形を行うことで
\begin{equation}
(a_2+a_3+\cdots+a_n)+(a_3+2a_4\cdots+(n-2)a_n)
\end{equation}
となり、これを繰り返すことで
\begin{equation}
(a_2+a_3+\cdots+a_n)+\\
(a_3+a_4\cdots+a_n)+\\\cdots+
(a_k+a_{k+1}+\cdots+a_n)+\cdots+\\
+a_n
\label{eq.4}
\end{equation}
となる。\\
(\ref{eq.2})より、
\begin{eqnarray*}
a_2+a_3+\cdots+a_n&=&-a_1\\
a_3+\cdots+a_n&=&-(a_1+a_2)\\
& \vdots &\\
a_{k+1}+\cdots + a_n &=& -(a_1+a_2+\cdots+a_k)
\end{eqnarray*}
なので、
(\ref{eq.4})を
\begin{equation}
-(a_1+(a_1+a_2)+\cdots+(a_1+a_2+\cdots+a_k))
+(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_n)+\cdots+a_n
\label{eq.5}
\end{equation}
と書き換えられる。\\
このとき$a_1,\cdots,a_k$はすべて$\leqq 0$なので
$$a_1+(a_1+a_2)+\cdots+(a_1+a_2+\cdots+a_k) \leqq 0$$
また$a_{k+1},\cdots,a_n$はすべて$\geqq 0$なので
$$(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_n)+\cdots+a_n \geqq 0$$
また、すべてが０ではないので
$$a_1+(a_1+a_2)+\cdots+(a_1+a_2+\cdots+a_k) < 0$$
または
$$(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_n)+\cdots+a_n > 0$$
従って
\begin{equation}
-(a_1+(a_1+a_2)+\cdots+(a_1+a_2+\cdots+a_k))
+(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_n)+\cdots+a_n > 0
\end{equation}
よって
$$a_1+2a_2+\cdots+na_n>0$$
証明終了
\end{document}
