%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1990年　入学試験　前期理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
三角形ABCにおいて，$\angle\mathrm{B}=60^\circ$，Bの対辺の長さ $b$ は整数，
他の2辺の長さ $a$，$c$ はいずれも素数である．このとき三角形ABCは正三角形
であることを示せ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
三角形ABCのBの対辺の長さが$b$
Aの対辺$\overline{BC}$のを長さa,Cの対辺$\overline{AB}$をcとする。\\
AからBCに下した垂線の脚をHとするとき$\overline{BH}$の長さをhとし垂線の長さをlとする。
$\angle\mathrm{B}=60^\circ$なので$h=c/2$\\
$\overline{HC}$の長さは$a-c/2$となる。\\

そのとき、
$$b^2=l^2+(a-c/2)^2$$
$$l^2=c^2-(c/2)^2$$
従って
$$b^2=c^2-(c/2)^2+(a-c/2)^2$$
整理すると
$$b^2=c^2-ac+a^2$$
$$b^2=(c-a)^2+ac$$
この式を変形すると
$$b^2-(c-a)^2=ac$$
となり
$$(b-(c-a))(b+(c-a))=ac$$
となる。\\
$a,b,c$は整数で、かつ、a,cは素数なので
右辺は$(1,ac),(a,c),(-1,-ac),(-a,-c)$にしか分解されない\\
従って
\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=a \\
b+c-a=c 
\end{cases}
\label{eq.1}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=c\\
b+c-a=a
\end{cases}
\label{eq.2}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=1\\
b+c-a=ac
\end{cases}
\label{eq.3}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=ac\\
b+c-a=1
\end{cases}
\label{eq.4}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=-a \\
b+c-a=-c 
\end{cases}
\label{eq.5}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=-c\\
b+c-a=-a
\end{cases}
\label{eq.6}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=-1\\
b+c-a=-ac
\end{cases}
\label{eq.7}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
b-c+a=-ac\\
b+c-a=-1
\end{cases}
\label{eq.8}\\
\end{equation}

のどれか成立する。

(\ref{eq.1})の場合
\begin{eqnarray*}
b-c&=&0 \\
b-a&=&0 
\end{eqnarray*}
従って、
\begin{eqnarray*}
b&=&c \\
b&=&a 
\end{eqnarray*}
推移律より
$$a=c$$
従って、三角形ABCは正三角形\\
\\
(\ref{eq.2})の場合
\begin{eqnarray*}
b&=&2c-a\\
b+c&=&2a
\end{eqnarray*}
となり
\begin{equation*}
3c=3a
\end{equation*}
従って
\begin{equation*}
c=a
\end{equation*}
２辺が等しく、挟角が$60^\circ$なので三角形ABCは正三角形\\
\\
(\ref{eq.3})の場合
\begin{eqnarray*}
b-c+a&=&1\\
b+c-a&=&ac
\end{eqnarray*}
より
$a \neq 2$の場合は
\begin{equation*}
c=\frac{1-2a}{a-2}
\end{equation*}
$a,c$は素数なので、$a \ge 2,c \ge 2$
従って、$1-2a<0$しかし、$c>0$なので、$a-2<0$
しかし、これは成立しない。
$a=2$の場合は
\begin{eqnarray*}
b&=&c-1\\
b&=&c+2
\end{eqnarray*}
となり
\begin{equation*}
c+2=c-1
\end{equation*}
となりこれも成立しない。
したがって、(\ref{eq.3})の場合はあり得ない\\
同様に
(\ref{eq.4})も
\begin{eqnarray}
b-c+a&=&ac\\
b+c-a&=&1
\end{eqnarray}
より\\
$c \neq 2$の場合
\begin{equation}
a=\frac{1-2c}{c-2}
\end{equation}
となるが、同様に成立しない\\
$c=2$の場合も同様
\\
(\ref{eq.5})の場合
\begin{eqnarray}
b-c+a=-a \\
b+c-a=-c 
\end{eqnarray}
\begin{equation}
3c=3a
\end{equation}
より
$$a=c$$\\
(\ref{eq.2})の場合と同様、三角形ABCDは正三角形\\
\\
(\ref{eq.6})の場合
\begin{eqnarray}
b-c+a=-c \\
b+c-a=-a 
\end{eqnarray}
より
\begin{equation}
a=c
\end{equation}
となり同様に、三角形ABCDは正三角形\\
(\ref{eq.7})の場合
\begin{eqnarray}
b-c+a=-1 \\
b+c-a=-ac 
\end{eqnarray}
より
$c \neq 2$の場合は
\begin{equation}
a=\frac{2c-1}{2-c}
\end{equation}
となるが、(\ref{eq.3})同様に成立しない\\
$c=2$の場合も(\ref{eq.3})同様成立しない\\
(\ref{eq.8})の場合
\begin{eqnarray}
b-c+a=-ac \\
b+c-a=-1 
\end{eqnarray}
より
$a \neq 2$の場合は
\begin{equation}
c=\frac{2a-1}{2-a}
\end{equation}
となり、(\ref{eq.4})同様に成立しない\\
$a=2$の場合も(\ref{eq.4})同様成立しない\\
\\
従って、(\ref{eq.1}),(\ref{eq.2}),(\ref{eq.5}),(\ref{eq.6})の場合のみあり得て\\
どの場合でも、三角形ABCDは正三角形
\end{document}
