%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1993年　入学試験　後期理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$ は正の定数とする．不等式 $a^x\geqq ax$ がすべての正の数 $x$ につい
て成り立つという．このとき $a$ はどのようなものか．
\\
{\large 解答}\\
\\
\begin{eqnarray}
f(x)=a^x-ax \label{eq.1}\\
g(x)=a^x \label{eq.2}
\end{eqnarray}
とする。\\

$a<1$の場合\\
$g(x)=a^x$を微分すると
$$g'(x)=a^x\;\log \; a$$
$log \; a < 0$より$g(x)=a^x$は単調減少\\
したがって、$x>0$のの範囲で$g(x)=a^x < 1=g(0)$\\
しかし、$ax$は任意の$a>0$において$ax>1$となる$x$をとることができる。\\
具体的には$x>1/a$\\
したがってその様な$x$においては$a^x<ax$となるため\\
$a<1$の場合は、$a^x \geqq ax$が成立しない$x$が存在する。\\
\\
$a=1$の場合\\
任意の$x$において$a^x=1$となり\\
$x>1$において、$1=a^x<ax=x$となり
$a=1$の場合は、$a^x \geqq ax$が成立しない$x$が存在する。\\
\\
$a>1$の場合\\
$f(x)$を微分すると
$$f'(x)=a^x\;\log \; a - a$$
$f'(x)$を微分すると\\
$$f''(x)=a^x\;(log \; a)^2$$
となり、$a>1$より$a^x\;(log \; a)^2 \ge 0$
したがって、$f'(x)$は単調増加---(a)\\
$a>1$の場合なので、$a \geqq 1$のみ考慮すれば十分\\
$a=1$のとき$\log\;a-a=-1$\\
$a>1$のとき\\
$$f_a(x)=\log\;x-x$$
とおいて
$f_a(x)$を微分すると
$$f_a'(x)=\frac{1}{x}-1$$
$x \geqq 1$の範囲で$f_a'(x) \le 0$
したがって$f_a(x)$は$x \geqq 1$の範囲で単調減少
$f_a(1)=-1$より
$f_a(x) \leqq -1$
したがって、$f_a(x)$は$x>0$の範囲で負\\
よって任意の$a$に対して$f(0)<0$
\\
$f'(x)$は連続だから、中間値の定理より\\
$x>0$の範囲に$f'(t)=0$となる$t$が存在する。\\
$$t=\frac{\log \left(\frac{a}{\log \; a}\right)}{\log \; a}$$
\\
このとき(a)より$f'(x)$は単調増加だから
\begin{equation}
0< x \leqq t \label{c.1}
\end{equation}
の範囲では\\
$$f'(x)<0$$
\\
\begin{equation}
x \geqq t \label{c.2}
\end{equation}
の範囲では\\
$$f'(x)>0$$
\\
したがって\\
(\ref{c.1})の範囲では$f(x)$は単調減少\\
(\ref{c.2})の範囲では$f(x)$は単調増加\\
\\
よって、$f(x)$は\\
(\ref{c.1})の範囲では$x=t$において最小となり\\
(\ref{c.2})の範囲でも$x=t$において最小となる\\
したがって、\\
$x>0$の範囲で$f(x)$は$x=t$において最小となる\\
そのときの値が0より大きいかひとしければ$x>0$のすべての範囲で$f(x) \geqq 0$がいえる。\\
\\
次に
\begin{eqnarray}
f(t) \geqq 0 \label{eq.3}\\
f'(t)=0
\end{eqnarray}
より

\begin{eqnarray*}
a^t\log\;a - a&=&0\\
a^t&=&\frac{a}{\log\;a}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f(t)=a^t-at\\
=\frac{a}{\log\;a}-at \ge 0
\end{eqnarray*}
$a>1$より$\log\;a > 0$であるから
\begin{eqnarray*}
a \geqq at\log\;a\\
\end{eqnarray*}
$$t=\frac{\log \left(\frac{a}{\log \; a}\right)}{\log \; a}$$
より
\begin{eqnarray*}
a \geqq a\log \left(\frac{a}{\log \; a}\right)\\
\end{eqnarray*}
$a>1$であるから
\begin{eqnarray*}
1 \geqq \log \left(\frac{a}{\log \; a}\right)\\
\end{eqnarray*}
指数関数は単調増加なので

\begin{eqnarray}
e^1 &\geqq& e^{\log \left(\frac{a}{\log \; a}\right)}\\
\frac{a}{\log \; a} &\leqq& e\label{eq.4}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray*}
h(x)=\frac{x}{\log \; x}
\end{eqnarray*}
として
$h(x)$を微分すると
\begin{equation}
h'(x)=\frac{\log \; x-1}{(\log \; x)^{2 }}
\end{equation}

分母は常に正したがってこの式の正負は分子によって決まる。
分子$\log \;x-1$は、$0<x<e$の範囲で負、$x>e$の範囲で正となるので
関数$h(x)$は$0<x<e$の範囲で単調減少、$x>e$の範囲で単調増加
となるので、$x=e$のとき最小値をとりそのときの値は$h(x)=e$となる。
したがって、$h(x)$は$0<x$の区間で$h(x) \geqq e$
(\ref{eq.4})が成り立つためには$(h(x) \leqq e$かつ、$h(x) \geqq e$なので\\
$x=e$のときのみ問題の不等式等式は成立する。\\
よって、問題の不等式がすべての$x>0$の範囲で成立する$a$は
\begin{equation*}
a=e
\end{equation*}
にかぎる。
\end{document}
