%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1995年　入学試験　後期理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$，$b$，$c$ は実数で $a\geqq 0$，$b\geqq 0$ とする．\\
\hspace*{4zw}$p(x)=ax^2+bx+c$，$q(x)=cx^2+bx+a$\\
とおく．$-1\leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|p(x)|\leqq 1$ が成り立つとき，$-1\leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|q(x)|\leqq 2$ が成り立つことを示せ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$a,b,c$それぞれが0である場合を分けて考える。\\
可能な組合せは
\begin{eqnarray}
a = 0,b = 0,c = 0 \label{c.1}\\
a \neq 0,b = 0,c = 0 \label{c.2}\\
a = 0,b \neq 0,c = 0 \label{c.3}\\
a = 0,b = 0,c \neq 0 \label{c.4}\\
a \neq 0,b \neq 0,c = 0 \label{c.5}\\
a \neq 0,b = 0,c \neq 0 \label{c.6}\\
a = 0,b \neq 0,c \neq 0 \label{c.7}\\
a \neq 0,b \neq 0,c \neq 0 \label{c.8}
\end{eqnarray}
の８通り\\
(\ref{c.1})の場合\\
$p(x)=0,q(x)=0$なので\\
$-1\leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|q(x)|\leqq 2$ が成り立つ\\
\\
(\ref{c.2})の場合\\
$p(x)=ax^2,q(x)=a$となる\\
$p'(x)=2ax$となり
$a > 0$より($a \neq 0$は(\ref{c.2})の仮定)\\
\begin{equation}
\begin{cases}
p'(x)<0\;(x<0)\\
p'(x)=0\;(x=0)\\
p'(x)>0\;(x>0)\\
\end{cases}
\end{equation}
$p(x)$は$x<0$で単調減少、$x>0$で単調増加\\
よって$x=0$で最小値$0$をとり\\
$x=1,-1$の両端のどちらか大きい方が最大値となる。\\
しかし、$p(1)=a(1)^2=a(-1)^2=p(-1)$なので\\
最大値は$p(1)=a$\\
したがって$p(x)$は$0 \leqq p(x) \leqq a$\\
条件より
$|p(x)| \leqq 1$なので$0 < a \leqq 1$\\
そのとき$q(x)=a$なので\\
$0 < q(x)=a \leqq 1$となり\\
$-1\leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|q(x)|\leqq 2$ が成り立つ\\
\\
(\ref{c.3})の場合\\
$p(x)=bx,q(x)=bx$となり
$p(x)=q(x)$\\
$|p(x)| \leqq 1$なので
$-1\leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|q(x)|\leqq 2$ が成り立つ\\

(\ref{c.4})の場合\\
$p(x)=c,q(x)=cx^2$となり
$|p(x)| \leqq 1$より$|c| \leqq 1$
$q'(x)=2cx$
となり\\
$c>0$の場合は
\begin{equation}
\begin{cases}
q'(x)<0\;(x<0)\\
q'(x)=0\;(x=0)\\
q'(x)>0\;(x>0)\\
\end{cases}
\end{equation}
$q(x)$は$x<0$で単調減少、$x>0$で単調増加\\
よって$x=0$で最小値$0$をとり\\
$x=1,-1$の両端のどちらか大きい方が最大値となる。\\
しかし、$q(1)=c(1)^2=c(-1)^2=q(-1)$なので\\
最大値は$q(1)=c$\\
したがって$q(x)$は$0 \leqq q(x) \leqq c$\\
$|c| \leqq 1$より$0 \leqq q(x) \leqq 1$\\
したがってなりたつ\\
\\
$c<0$の場合は
\begin{equation}
\begin{cases}
q'(x)>0\;(x<0)\\
q'(x)=0\;(x=0)\\
q'(x)<0\;(x>0)\\
\end{cases}
\end{equation}
$q(x)$は$x<0$で単調増加、$x>0$で単調減少\\
よって$x=0$で最大値$0$をとり\\
$x=1,-1$の両端のどちらか小さい方が最小値となる。\\
よって同様に$q(x)$は$0 \geqq q(x) \geqq c$\\
$|c| \leqq 1$より$0 \geqq q(x) \geqq 1$\\
したがってなりたつ\\
\\
(\ref{c.5})の場合\\
$$a \neq 0,b \neq 0,c = 0$$
$p(x)=ax^2+bx,q(x)=bx+a$となる。\\
$p'(x)=2ax+b$より
($a>0,b>0$より)
\begin{equation}
\begin{cases}
p'(x)>0\;(x<-b/2a)\\
p'(x)=0\;(x=-b/2a)\\
p'(x)<0\;(x>-b/2a)\\
\end{cases}
\end{equation}
$-b/2a<-1$の場合\\
$p(x)$は区間$[-1 \leqq x \leqq 1]$の範囲で正\\
つまり単調増加なので最小値は$p(-1)=a-b$最大値は$p(1)=a+b$\\
このとき$q(x)$は$bx+a$で$b>0$な１次関数であるから単調増加\\
したがって最小値は$q(-1)=-b+a=p(-1)$,最大値は、$q(1)=a+b=p(1)$
$|p(x)| \leqq 1$より $|q(x)| \leqq 1$\\
したがってなりたつ\\
\\
$-1 \leqq -b/2a \leqq 1$の場合\\
$a>0$より\\
$p(x)$はx=-b/2aの点で最小値をとり\\
$x=1,-1$のどちらか大きい方が最小値となる。\\
\begin{eqnarray*}
p\left(\frac{-b}{2a}\right)&=&a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)\\
&=&\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}\\
&=&-\frac{b^2}{4a}
\end{eqnarray*}
また\\
$$p(1)=a+b,p(-1)=a-b$$
$a>0,b>0$より$p(1)>p(-1)$\\
よって、
$$-1 \leqq -\frac{b^2}{4a} \leqq p(x) \leqq a+b \leqq 1$$
前と同様に$a-b \leqq q(x) \leqq a+b \leqq 1$
だから
$-1 \leqq -\frac{b^2}{4a}$から
$$ \frac{b^2}{4a} < 1$$
$a>0$より
$$ b^2< 4a$$
$b>0$より
$$ b < 2\sqrt{a}$$
$$ a-b < a-2\sqrt{a}$$
\\
(\ref{c.6})の場合\\
$$a \neq 0,b = 0,c \neq 0 $$
$p(x)=ax^2+c,p(x)=cx^2+a$\\
$p'(x)=2ax$\\
($a>0,b>0$より)
\begin{equation}
\begin{cases}
p'(x)>0\;(x<-b/2a)\\
p'(x)=0\;(x=-b/2a)\\
p'(x)<0\;(x>-b/2a)\\
\end{cases}
\end{equation}

\end{document}
