%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1995年　入学試験　前期理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$，$b$ は $a>b$ をみたす自然数とし，$p$，$d$ は素数で $p>2$ とする。
このとき，$a^p-b^p=d$ であるならば，$d$ を $2p$ で割った余りが $1$ であることを示せ。\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$$a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=d$$
$d$は素数なので
\begin{equation}
\begin{cases}
(a-b)=d\\
(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=1
\label{c.1}
\end{cases}
\end{equation}
または
\begin{equation}
\begin{cases}
(a-b)=1\\
(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=d
\label{c.2}
\end{cases}
\end{equation}
のいずれかにしか因数分解できない。\\
$a \geqq 2$かつ$b \geqq 1$,$p>2$なので
\begin{equation}
a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1}>a^{p-1}\geqq 2^2=4 \label{c.3}
\end{equation}
より(\ref{c.1})の場合はあり得ない\\
(\ref{c.2})の場合$a-b=1$より$b=a-1$\\
したがって
$$d=a^p-b^p=a^p-(a-1)^p=(-1)^{p-1}\binom {p}{1} a^{p-1}+(-1)^{p-2}\binom{p}{3} a^{p-2}+\cdots+\binom{p}{p-1}a-(-1)^p$$
$\displaystyle\binom {p}{n} = \dfrac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}(0 < n <p)$は$p$で割り切れ\\
$p>2$は奇数なので$-(-1)^p=1$だから\\
$d$をpで割ったあまりは$1$\\
(\ref{c.3})より、$d>3$なので$d$は２より大きい素数であるから奇数である。\\
よって２で割ったあまりは$1$\\
以上より$d=2n+1$かつ$d=mp+1$となる整数$m,n$が存在し$2n+1=mp+1$より$2n=mp$\\
しかし$p$は素数で$p>2$なので$n$が$p$で割り切れなければならない\\
つまり、$n=lp$となる整数$l$が存在する。\\
したがって$d=2pl+1$となり\\
$d$を$2p$で割った余りは$1$\\
\end{document}
