%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1995年　入学試験　前期理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$，$b$ は $a>b$ をみたす自然数とし，$p$，$d$ は素数で $p>2$ とする。
このとき，$a^p-b^p=d$ であるならば，$d$ を $2p$ で割った余りが $1$ であることを示せ。\\
\\
{\large 解答}\\
\\
初等整数論の基礎を使うと\\
Fermatの定理より\\
$$a^p \equiv a \mod p$$
$$b^p \equiv b \mod p$$
したがって
$$a^p-b^p \equiv a-b \mod p$$
つまり
$$d \equiv a-b \mod p$$
また
$$a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+\cdots+b{p-1})=d$$
$d$は素数なので
\begin{equation}
\begin{cases}
(a-b)=d\\
(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=1
\label{c.1}
\end{cases}
\end{equation}
または
\begin{equation}
\begin{cases}
(a-b)=1\\
(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=d
\label{c.2}
\end{cases}
\end{equation}
($a\geqq 2,b \geqq 1,p>2$)なので\\
$a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1}$の各項は１以上\\
したがって\\
$$a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1} > a^{p-1}\geqq 2^2 > 3$$
なので(\ref{c.1})は不可能\\
(\ref{c.2})を考えると
$(a-b)=1$より
$$d \equiv 1 \mod p$$
また
$$(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1}) > 3$$よりより\\
$d>3$の素数なので$d$は奇数\\
したがって
$d \equiv 1 \mod 2$\\
$2,p$は素数なので$2$と$p$は互いに素\\
なので\\
$$d \equiv 1 \mod 2p$$
\end{document}
