%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1997年　入学試験　後期理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
自然数 $n$ と $n$ 項数列 $a_k\;(1\leqq k\leqq n)$ が与えられていて，次の条件（イ），（ロ）を満たしている．
\begin{description}
 \item[]（イ）　$a_k\;(1\leqq k\leqq n)$ はすべて正整数で，すべて1と 
	    $2n$ の間にある，$1\leqq a_k\leqq 2n$．
 
 \item[]（ロ）　$s_j=\dsum_{k=1}^j a_k$ とおくとき，$s_j\;(1\leqq j\leqq n)$ はすべて平方数である．（整数の2乗である数を平方数という．）
\end{description}
　このとき
\begin{enumerate}
 \item　$s_n=n^2$ であることを示せ．

 \item　$a_k\;(1\leqq k\leqq n)$ を求めよ． 
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\\
$s_k=b_k^2$となる数列$b_k$を考える\\
$s_k$は平方数なので$s_k=t^2$となる整数$t$が存在し$t=\pm \sqrt{s_k}$\\
ここでは$t>0$の場合のみを考えても問題は無いので$b_k \geqq 0$とする。\\
$s_k=b_k^2$なので
$$a_l=s_l-s_{l-1}=b_l^2-b_{l-1}^2=(b_l-b_{l-1})(b_l+b_{l-1})$$

$a_k>0$より\\
$(b_l-b_{l-1})(b_l+b_{l-1})>0$となり\\
$b_l>0$より\\
$b_l+b_{l-1}>0$\\
したがって\\
$b_l-b_{l-1}>0$\\
よって$b_k$は増加数列\\
したがって\\
$b_1>0$より$b_1 \geqq 1$であり\\
すべての$k(1\geqq k \geqq n)$において\\
$b_k \geqq k$\\
したがって
$$(b_n-b_{n-1})(b_n+b_{n-1}) \geqq (b_n-b_{n-1})(2n-1)$$
しかし
$$a_n=(b_n-b_{n-1})(b_n+b_{n-1}) \leqq 2n$$
なので
$$(b_n-b_{n-1})(2n-1) \leqq 2n$$
\\
$2n-1 \geqq 1$なので\\
$$b_n-b_{n-1} \leqq \frac{2n}{2n-1} = 1+\frac{1}{2n-1}$$
$n=1$の場合
$a_1 \leqq 2$\\
$s_1 = a_1$\\
$s_1$が平方数であるためには$s_1=1$\\
よって\\
$$a_1=1$$
\\
$n>1$の場合
$$\frac{1}{2n-1}\leqq \frac{1}{3}$$
したがって
$$b_n-b_{n-1} \leqq 1+\frac{1}{3}$$
$b_n-b_{n-1}$は正の整数で$b_n-b_{n-1}>0$なので$b_n-b_{n-1}=1$\\
つまり\\
$b_n=b_{n-1}+1$\\
よって\\
$$a_n=2b_n-1$$
また
$$a_n \leqq 2n$$
より
\begin{eqnarray*}
2b_n-1 &\leqq& 2n\\
2b_n &\leqq& 2n+1\\
b_n &\leqq& n+1/2\\
\end{eqnarray*}
$b_k \geqq k$\\
より
$$n \leqq b_n \leqq n+1/2$$
よって
$b_n=n$\\
よって
$$s_n=b_n^2=n^2$$
\\
また$b_k-b_{k-1}=1$なので$b_{n-1}=n-1$\\
これを繰り返して
$$b_k=k(1 \leqq k \leqq n)$$
したがって
$$a_k=2k-1\;\;(1 \leqq k \leqq n)$$


\end{document}
