%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1999年　入学試験　前期理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　以下の問に答えよ．ただし，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$ が無理数
であることは使ってよい． 
\begin{enumerate}
 \item 有理数 $p$，$q$，$r$ について，
\[
 p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0
\]
ならば，$p=q=r=0$ であることを示せ．
 \item 実数係数の 2次式
\[
 f(x)=x^2+ax+b
\]
について，$f(1)$，$f(1+\sqrt{2})$，$f(\sqrt{3})$ のいずれかは無理数であ
	   ることを示せ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$p,q,r$が0であるか無いかによって場合を分けると
\begin{eqnarray}
p \neq 0,q \neq 0,r \neq 0\\
p =0,q \neq 0,r \neq 0\\
p \neq 0,q = 0,r \neq 0\\
p \neq 0,q \neq 0,r = 0\\
p =0,q = 0,r \neq 0\\
p =0,q \neq 0,r = 0\\
p \neq 0,q = 0,r = 0\\
p =0,q = 0,r = 0
\end{eqnarray}
に場合分けされる\\
\\
以下それぞれの場合について考える。\\
\\
$p \neq 0,q \neq 0,r \neq 0$とすると
$$p=-\left(q\sqrt{2}+r\sqrt{3}\right)$$
両辺を２乗すると
$$p^2=2q^2+2qr\sqrt{6}+3r^2$$
$p \neq 0,q \neq 0,r \neq 0$より
$$\frac{p^2-2q^2-3r^2}{2qr}=\sqrt{6}$$
左辺は有理数の四則演算で構成されているので有理数\\
しかし右辺は$\sqrt{6}$で無理数であり\\
左辺が有理数であることに反する。\\
よってこの場合はあり得ない\\
\\
$p=0,q \neq 0,r \neq 0$の場合\\
$$q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$$
となり
$$q\sqrt{2}=-r\sqrt{3}$$
両辺に$\sqrt{3}$をかけて
$$q\sqrt{2}\sqrt{3}=-3r$$
両辺を$q$で割ると
$$\sqrt{6}=-3r/q$$
となるが、右辺は有理数であり、左辺が無理数であることに反する\\
よってこの場合はありえない\\
\\
$p \neq 0,q = 0,r \neq 0$の場合\\
$$p+r\sqrt{3}=0$$
となり
$$\sqrt{3}=-\frac{p}{r}$$
となるが右辺は有理数、左辺が無理数であることに反する\\
よってこの場合はありえない\\
\\
$p \neq 0,q \neq 0,r = 0$の場合\\
$$p+q\sqrt{2}=0$$
となり
$$\sqrt{2}=-\frac{p}{q}$$
となるが右辺は有理数、左辺が無理数であることに反する\\
よってこの場合はありえない\\
\\
$p=0,q=0$の場合
$$r\sqrt{3}=0$$
となり$r=0$\\
\\
$p=0,r=0$の場合
$$q\sqrt{2}=0$$
となり$q=0$\\
\\
$q=0,r=0$の場合
$$p=0$$
となり$p=0$\\
\\
以上より、(1)(2),(3),(4)の場合はあり得ない\\
(5),(6),(7)の場合はすべて$p=q=r=0$\\
(8)の場合は$p=q=r=0$\\
よって
$$p=q=r=0$$
\\
2.\\
$f(x)=x^2+ax+b$において\\
\begin{eqnarray}
p&=&f(1)=1+a+b\\
q&=&f(1+\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}+a+a\sqrt{2}+b\\
r&=&f(\sqrt{3})=3+a\sqrt{3}+b\\
\end{eqnarray}
とおき$p,q,r$がすべて有理数であると仮定する。\\
\begin{eqnarray*}
q&=&2\sqrt{2}+a\sqrt{2}+3+a+b\\
&=&a\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2+p
\end{eqnarray*}
であるから\\
$$(a+2)\sqrt{2}+2+p-q=0$$
$$a=\frac{2+p-q}{\sqrt{2}}-2$$
$$b=\frac{2+p-q}{\sqrt{2}}-1-p$$
を$r=3+a\sqrt{3}+b$に代入すると
\begin{eqnarray*}
r&=&4+a(1+\sqrt{3})-p\\
&=&4+(1+\sqrt{3})\frac{2+p-q}{\sqrt{2}}-p\\
&=&4+(\sqrt{2}+\sqrt{6})\frac{2+p-q}{2}-p\\
\end{eqnarray*}
から
$2+p-q \neq 0$の時
$$\frac{2(r+p-4)}{(2+p-q)}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$$
となる。
両辺を２乗して
$$\left(\frac{2(r+p-4)}{(2+p-q)}\right)^2=8+2\sqrt{3}$$
$$\frac{\left(\frac{2(r+p-4)}{(2+p-q)}\right)^2}{2}-4=\sqrt{3}$$
となるが、左辺は有理数の四則演算で構成されているので有理数\\
しかし右辺が無理数であることに矛盾する。\\
$2+p-q=0$のとき
$$(a+2)\sqrt{2}+2+p-q=0$$
より
$$a=-2$$\\
$p=1+a+b$が有理数であるから\\
$b=p-1-a=p+1$は有理数\\
したがって
\begin{eqnarray*}
r&=&3+a\sqrt{3}+b\\
&=&4-2\sqrt{3}+p
\end{eqnarray*}
より
$$\frac{p-r+4}{2}=\sqrt{3}$$
となり、
左辺は有理数となり、右辺が無理数であることに矛盾する。\\
\\
以上より$f(1),f(1+\sqrt{2}),f(\sqrt{3})$がすべて有理数であることはない
\end{document}
