%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　2000年　入学試験　後期理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
1.$x\geqq 0$のとき，不等式$e^x\geqq 1+\dfrac{1}{2}x^2$が成立することを示せ．\\
2.自然数$n$に対して関数$f_n(x)=n^2(x-1)e^{-nx}$の$x\geqq 0$における最大値を$M_n$とする．このとき，$\dsum_{n=1}^\infty M_n$を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$f(x)=e^x-\left(1+\dfrac{1}{2}x^2\right)$とする
$x=0$のとき
$$f(0)=1-1=0$$
$f(x)$を微分すると
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&e^x-x\\
f'(0)&=&1-0=1\\
\end{eqnarray*}
$f''(x)=e^x-1$となり\\
$x\geqq 0$において$e^x \geqq 1$だから\\
$$f''(x) \geqq 0$$
したがって$f'(x)$は単調増加で$f'(0)=1$より$f'(x) \geqq 1$\\
$f(x)$も単調増加で$f(0)=0$より$f(x) \geqq 0$\\
\begin{eqnarray*}
f(x) &\geqq& 0\\
e^x-\left(1+\dfrac{1}{2}x^2\right) &\geqq& 0\\
e^x&\geqq&1+\dfrac{1}{2}x^2\\
\end{eqnarray*}
よって不等式は成立する。\\
\\
2.\\
\begin{eqnarray*}
f_n(x)&=&n^2(x-1)e^{-nx}\\
&=&n^2xe^{-nx}-n^2e^{-nx}
\end{eqnarray*}
$f_n(x)$を微分して
\begin{eqnarray*}
f_n'(x)&=&n^2e^{-nx}-n^3xe^{-nx}  +n^3e^{-nx}\\
&=&n^2(1-nx+n)e^{-nx}\\
\end{eqnarray*}
したがって
$n^2e^{-nx}$は常に正なので$f_n'(x)$の正負は$(1-nx+n)$の正負と一致する。\\
$g(x)=(1-nx+n)$とおく\\
$x=0$の時\\
$g(0)=1-n0+n=1+n>0$\\
$g'(x)=-n$より\\
$g'(x)$は単調減少\\
$g(x)=0$を解くと\\
$x=\frac{n+1}{n}$\\
よって\\
\begin{equation*}
g(x)=
\begin{cases}
>0\;\left(0 \leqq x < \frac{n+1}{n}\right)\\
=0\;\left(x = \frac{n+1}{n}\right)\\
<0\;\left(x > \frac{n+1}{n}\right)
\end{cases}
\end{equation*}
したがって
\begin{equation*}
f'(x)=
\begin{cases}
>0\;\left(0 \leqq x < \frac{n+1}{n}\right)\\
=0\;\left(x = \frac{n+1}{n}\right)\\
<0\;\left(x > \frac{n+1}{n}\right)
\end{cases}
\end{equation*}
よって$f_n(x)$は
$$x=\frac{n+1}{n}$$
において最大値をとる。\\
そのときの$f_n(x)$の値は
\begin{eqnarray*}
M_n&=&f_n\left(\frac{n+1}{n}\right)\\
&=&n^2\left(\frac{n+1}{n}-1\right)e^{-n\frac{n+1}{n}}\\
&=&ne^{-(n+1)}\\
\end{eqnarray*}
$S=\dsum_{n=1}^\infty M_n$
とおく
\begin{eqnarray*}
S=\dsum_{n=1}^\infty M_n&=&\dsum_{n=1}^\infty ne^{-(n+1)}\\
&=&\dsum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n+1}}\\
&=&\frac{1}{e^{2}}+\frac{2}{e^{3}}+\frac{3}{e^{4}}+\cdots+\frac{k}{e^{k+1}}+\cdots\\
\end{eqnarray*}
$S-\frac{1}{e}S$を計算すると
\begin{eqnarray*}
S-\frac{1}{e}S&=\frac{1}{e^{2}}&+\frac{2}{e^{3}}+\frac{3}{e^{4}}+\cdots+\frac{k}{e^{k+1}}+\cdots\\
& &-\frac{2}{e^{4}}-\frac{3}{e^{4}}-\cdots-\frac{k-1}{e^{k+1}}-\cdots\\
&=\frac{1}{e^{2}}&+\frac{1}{e^{3}}+\frac{1}{e^{4}}+\cdots+\frac{1}{e^{k+1}}+\cdots\\
&=&\dsum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{n+1}}
\end{eqnarray*}
$T=\dsum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{n+1}}$とおく\\
公比$x<1$のとき等比数列の和は初項$a_1$として\\
$\dsum_{n=1}^k a_1x^{n-1}=\frac{a_1-a_1x^k}{1-x}$\\
となり\\
$\dlim_{k\to\infty}\frac{a_1-a_1x^k}{1-x}=\frac{a_1}{1-x}$\\
となって収束するので\\
$\dsum_{n=1}^\infty a_1x^{n-1}=\frac{a_1}{1-x}$\\
そこで
\begin{eqnarray*}
T&=&\frac{1}{e^2}\frac{1}{1-1/e}\\
&=&\frac{1}{e^2}\frac{e}{e-1}\\
&=&\frac{1}{e(e-1)}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
S&=&T/(1-\frac{1}{e})\\
&=&\left(\frac{1}{e(e-1)}\right)/\left(\frac{e-1}{e}\right)\\
&=&\left(\frac{1}{e(e-1)}\right)\left(\frac{e}{e-1}\right)\\
&=&\frac{1}{(e-1)^2}\\
\end{eqnarray*}
以上より
$$\dsum_{n=1}^\infty M_n=\frac{1}{(e-1)^2}$$
\end{document}

