%2007/08/29 02:44
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　2000年　入学試験　前期理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$p$を素数，$a$，$b$を互いに素な正の整数とするとき，$(a+bi)^p$は実数ではないことを示せ．ただし$i$は虚数単位を表す．\\
\\
{\large 解答}\\
$p=2$の時\\
$$(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2$$
$a,b$は正なので$2ab>0$\\
よって実数ではない。\\
\\
$p \geqq 3$の時\\
$$(a+bi)^p=a^p
+\binom p1a^{p-1}bi
-\binom p2a^{p-2}b^2
-\binom p3a^{p-3}b^3i
+\cdots
+b^pi^p
$$
この値が実数になるには\\
虚数項の係数\\
$$B=\binom p1a^{p-1}b
-\binom p3a^{p-3}b^3
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^p
$$
が0になることが必要十分\\
$B$を$b$で整理すると
$$B=b\left(\binom p1a^{p-1}
-\binom p3a^{p-3}b^2
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^{p-1}\right)
$$
$b\neq0$なので
$B=0$となるためには
$$\binom p1a^{p-1}
-\binom p3a^{p-3}b^2
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^{p-1}=0$$
第２項以降を$b$で整理すると
$$\binom p1a^{p-1}
+b\left(
-\binom p3a^{p-3}b
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^{p-2}
\right)
=0$$
第２項以降を右辺に移項して
また$\binom p1=p$なので
$$pa^{p-1}
=-b\left(
-\binom p3a^{p-3}b
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}b^{p-2}
\right)$$
しかし、$b$はaとは互いに素\\
したがって$b=p$でなければならない\\
そこで両辺を$p=b$で割って書き直すと\\
$$a^{p-1}
=-\left(
-\binom p3a^{p-3}p
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}p^{p-2}
\right)$$
となるが\\
右辺を$p$で整理すると
$$a^{p-1}
=-p\left(
-\binom p3a^{p-3}
+\cdots
+(-1)^{\frac{p-1}{2}}p^{p-3}
\right)$$
$p$は素数なので\\
$a^{p-1}$は$p$を因数として含むことになる\\
したがって$a$は$p$を因数として含む\\
しかし今$b=p$なのでこれは$a,b$が互いに素という前提に反する\\
したがって$B \neq 0$\\
以上より虚数項の係数が$0$にならないので$(a+bi)^p$は実数ではない\\

証明終了
\end{document}

