%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　2002年　入学試験　前期理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$は整数を係数とする$x$の4次式とする．4次方程式$f(x)=0$の重複も込めた4つの解のうち，2つは整数で残りの2つは虚数であるという．このとき$a$，$b$，$c$の値を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
四つの解をそれぞれ$(m,n,\alpha,\beta)$とする。\\
$m,n$は整数,$\alpha,\beta$は虚数\\
$\alpha=p+qi,\beta=r+si$とする。\\
このとき$f(x)$は$(x-m)(x-n)(x-\alpha)(x-\beta)$の形に表される。\\
したがって\\
$f(x)=x^4+(-\alpha-\beta-n-m)x^3+(mn+(m+n)(\alpha+\beta)+\alpha\beta)x^2+(-(\alpha+\beta)mn-\alpha\beta(m+n))x+mn\alpha\beta$\\
したがって
\begin{eqnarray*}
a&=&-\alpha-\beta-n-m\\
b&=&mn+(m+n)(\alpha+\beta)+\alpha\beta\\
c&=&-(\alpha+\beta)mn-\alpha\beta(m+n)\\
1&=&mn\alpha\beta
\end{eqnarray*}
$a,b,c,m,n$は整数なので
$\alpha+\beta=-a-n-m$は整数\\
よって$\alpha+\beta$の虚数項は$0$なので$q=-s$\\
また$mn\alpha\beta=1$なので\\
$\alpha\beta=pr-qs+(ps+rq)i$が有理数となり\\
$ps+rq=ps-rs=s(p-r)=0$\\
$s=0$だと$\alpha,\beta$が虚数にならないので、$s \neq 0$であり、$p=r$\\
したがって$\alpha$と$\beta$は共役\\
$\alpha+\beta=2p$\\
$\alpha\beta=p^2+q^2$となる
$a=-2p-n-m$\\
$b=mn+2p(m+n)+p^2+q^2$\\
$c=-2pmn-(p^2+q^2)(m+n)$\\
$1=-mn(p^2+q^2)$\\
$2p=-a-n-m$より$2p$は整数。\\
よって$b-mn-2p(m+n)=p^2+q^2$より$p^2+q^2$も整数\\
$mn(p^2+q^2)=1$より\\
$mn(p^2+q^2)=1$より\\
$m,n,p^2+q^2$はすべて1または$-1$\\
しかし$p^2+q^2>0$なので$p^2+q^2=1$\\
よって$p^2+q^2=1$\\
つまり$mn=1$\\
$a=-2p-n-m$\\
$b=1+2p(m+n)+1$\\
$c=-2p-(m+n)$\\
となり$a=c$\\
$2p$が整数なので$2p=k$($k$は整数)と表せる。\\
$m,n$の組は$(m,n)=(1,1),(-1,-1)$の2通りが考えられる。\\
$(m,n)=(1,1)$のとき$m+n=2$より\\
$a=-k-2$\\
$b=2k+2$\\
$(m,n)=(-1,-1)$のとき$m+n=-2$より\\
$a=-k+2$\\
$b=-2k+2$\\
$p^2+q^2=1$より\\
$p^2+q^2=1$より$|p|\leqq 1$となるが\\
$p=1$のとき$q=0$となり$\alpha,\beta$が虚数ではなくなるので$|p|\neq 1$\\
よって\\
$k=-1,0,1$のいずれか\\
よって$a,b,c$の組は\\
$(m,n,k)=(1,1,-1) \to (a,b,c)=(-1,0,-1)$\\
$(m,n,k)=(1,1,0) \to (a,b,c)=(-2,2,-2)$\\
$(m,n,k)=(1,1,1) \to (a,b,c)=(-3,4,-3)$\\
$(m,n,k)=(-1,-1,-1) \to (a,b,c)=(3,4,3)$\\
$(m,n,k)=(-1,-1,0) \to (a,b,c)=(2,2,2)$\\
$(m,n,k)=(-1,-1,1) \to (a,b,c)=(1,0,1)$\\
よって$a,b,c$の組は
$$(-1,0,-1),(-2,2,-2),(-3,4,-3),(3,4,3),(2,2,2),(1,0,1)$$
\end{document}
