%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　2002年　入学試験　前期理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$0<\theta<90$とし，$a$は正の整数とする．複素数平面上の点$z_0,z_1,z_2,\cdots$をつぎの条件(i)，(ii)を満たすように定める．\\
(i) $z_0=0$，$z_1=a$\\
(ii) $n\geqq1$のとき，点$z_n-z_{n-1}$を原点のまわりに\\
$\theta^{\circ}$回転すると点$z_{n+1}-z_n$に一致する．\\

このとき点$z_n\ (n\geqq1)$が点$z_0$と一致するような$n$が存在するための必
要十分条件は，$\theta$が有理数であることを示せ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
点$p_k=z_k-z_{k-1}\;\;(0<k)$とすると、\\
$p_1=a$\\
$p_k$は$p_{k-1}$を原点を中心に$\theta^{\circ}$回転したものであるから\\
$p_k$の長さ$\overline{p_k}$は$\overline{p_{k-1}}$と等しい\\
したがって、$p_k$は$0$を中心として半径$a$の円周上等角度でならぶ\\
$z_n$が$z_0=0$に一致する$n$が存在したときその一つを$t$とすると\\
$z_t=0=p_1+p_2+\cdots+p_t$となる\\
そのとき、点$z_0,z_1,\cdots,z_t$を順に直線で結ぶと$t$角形となる\\
また各点$z_k(1<k<t)$の内角は$(180-\theta)^{\circ}$となる。
さて、この$t$角形の内角の和は$(180-\theta)t$となる\\
$d_k$を以下のように定義する\\
中心点からみて$z_k$が$z_{k-1}$から時計周りであるばあいを$-1$\\
反時計周りである場合を$1$\\
$z_k,z_{k-1}$と$0$が一直線上にならぶ場合を$0$\\
すべての$k$について$d_k$は定義できる。\\
$t$角形の内角の和は
$$\dsum_{k=1}^{t}180d_k$$
(反時計周りの場合は、$0,z_k,z_{k-1}$を頂点とする三角形の内角の和を加算し\\
時計周りの場合はそれを減算し、１直線の場合は内角の和を操作しない)\\
と定義できる。\\

したがって、この式で$d_k$が$1$となる回数から$-1$となる回数を引いた数を$l$とすると\\
内角の和は$180l(lは整数)$と表せる。\\
したがって\\
$(180-\theta)t=180l$\\
$\theta=\frac{180(l-t)}{t}$\\
となり、\\
$\theta$は有理数\\
逆に\\
$\theta$が有理数であった場合$\theta=\frac{m}{n}$とすると\\
$t\frac{m}{n}=360l$となる$t,l$を１組とってくると\\
(例えば$t=360n,l=m$とする)\\
$p_k$は$k$が$1$増える毎に$\frac{m}{n}$度回転するので\\
$\angle p_1 O p_k = (k-1)\frac{m}{n}$\\
$p_{t+1}= t\frac{m}{n}=360l$となって\\
$p_k$は$k=t+1$において、$p_1$に一致する。\\
このとき、
点$p_k$は$x^t-a^t=0$の解\\
したがって
\begin{eqnarray*}
x^t-a^t&=&(x-p_1)(x-p_2)\cdots(x-p_t)\\
&=&x^t-(p_1+p_2+\cdots+p_t)x^{t-1}+\cdots+(p_1 p_2 \cdots p_t)
\end{eqnarray*}
がすべてのxについて成り立つ\\
よって$x^{t-1}$の係数は０\\
したがって
$$\dsum_{k=1}^{t} p_k=0$$
となり
$$z_t=\dsum_{k=1}^{t} p_k=0$$
より$z_t=0=z_0$
したがって、$z_n=z_0$となる$n$が存在する。
\end{document}
