%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　2004年　入学試験　前期理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$N$ を自然数とする。$N+1$ 個の箱があり、1 から$N+1$ までの番号が付いている。\\
どの箱にも玉が1 個入っている。\\
番号1 から$N$ までの箱に入っている玉は白玉で、番号$N+1$ の箱に入っている玉は赤玉である。
次の操作（＊）を、おのおのの$k=1,2,...,N+1$ に対して、$k$ が小さい方から順番に1 回ずつ行う。\\
（＊）$k$ 以外の番号の$N$個の箱から1 個の箱を選び、その箱の中身と番号$k$ の箱の中身を交換する。
(ただし、$N$ 個の箱から1 個の箱を選ぶ事象は，どれも同様に確からしいとする。)\\
操作がすべて終了した後、赤玉が番号$N+1$ の箱に入っている確率を求めよ。\\
\\
{\large 解答}\\
\\
操作を$k=1,...N$までと$k=N+1$に分けて考える。\\
$k=n(1 \le n \le N)$のときの操作によって$n$番の箱と$N+1$番の箱の中身が交換される確率は$1/N$
したがってこの操作で交換されない確率は$(N-1)/N$となる。\\
これが$N$回繰り返されるので、\\
(A)$N+1$番の箱が$k=1,...,N$までの操作で一度も交換されない確率は
\begin{equation}
\left({\frac{N-1}{N}}\right)^N
\end{equation}
(B)一度でも交換される確率は
\begin{equation}
1-\left({\frac{N-1}{N}}\right)^N
\end{equation}
となる。\\
\\
ここで、(A)と(B)の場合に分けてそれぞれの確率を考える。\\
(A)の場合、$k=N+1$の操作で$N+1$の箱の赤玉は$1,...,N$のどれかの箱の中身と交換されるため、
すべての操作の完了時点で、$N+1$の箱には赤玉は無い。\\
したがってこの場合、すべての操作の終了した後、番号$N+1$の箱に赤玉が入っている確率は$0$\\
\\
(B)の場合、$k=1,...,N$までの操作で一度でも$N+1$との交換があった場合を考える。\\
初めて$N+1$の箱と交換が発生した時の操作が$k=n$の操作であったとすると$k=n+1$の操作の直前において赤玉は$n$の箱に位置する。\\
その後の操作$k=n+1,..,N$の時に$n$の箱はどれかの箱と交換される可能性があるが、
その時の操作が$k=l$の操作$(n+1 \le l \le N)$であったとすると、
赤玉は$l$の箱に移動する事になる。\\
しかし、$l \le N$なので赤玉は$N+1$の箱に移動する事は無い。\\
つまり、$k=1,2,...,N$までの操作において、一度でも$N+1$の箱から赤玉が移動した場合は$N+1$の操作の直前において、
赤玉は$1,2,...N$のどれかの箱にあることになる。\\
この状態で$k=N+1$の操作によって、$N+1$の箱に赤玉が入る確率は$\frac{1}{N}$となる。\\
よって、すべての操作が完了した段階で赤玉が$N+1$の箱に入っている確率は\\
$k=1,...,N$までの操作で１度でも$N+1$と交換が起こる確率(2)と
$k=N+1$の操作でその時点で赤玉が入っている$1,...,N$のどれかの箱が$k=N+1$の操作によって選ばれる確率
\begin{equation}
\frac{1}{N}
\end{equation}
の積となり(B)の場合の確率は
$$\left(1-\left({\frac{N-1}{N}}\right)^N\right)\left(\frac{1}{N}\right)$$
となる。\\
(A)と(B)は排他なので、確率は(A)と(B)の確率の和となる。\\
したがって、すべての操作が終了した時点で箱$N+1$に赤玉が入っている確率は
$$\underline{\left(1-\left({\frac{N-1}{N}}\right)^N\right)\left(\frac{1}{N}\right)}$$
となる。
\end{document}
