%2007/05/03 06:12
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　2006年　入学試験　前期理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$2$以上の自然数$n$に対し，$n$と$n^2+2$がともに素数になるのは$n=3$の場合
に限ることを示せ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$n$が$2$の場合、$n^2+2=6$は合成数である。\\
$n$が$3$の場合、$n=3$,$n^2+2=11$ともに素数である。\\
従って、題意を示すには3より大きな自然数について、$n$または$n^2+2$のいずれかは必ず合成数であることを示せばよい。\\
$n$を$3$より大きな自然数とする。\\
$n$を$3$を法として剰余類に分けると、\\
$m$を$2$以上の自然数として\\
$3m,3m-2,3m-1$\\
に分けられる。\\
$n=3m$のとき\\
$m$が$2$以上の整数なので、$n$は合成数\\
$n=3m-2$のとき\\
$n^2+2=(n+1)(n-1)+3=(3m-1)(3m-2-1)+3=(3m-1)(3m-3)+3=3((3m-1)(m-1)+1)$\\
となり$m\ge2$より$3m-1\ge 1$かつ$m-1 \ge 1$だから$(3m-1)(m-1)+1>1$より\\
$n^2+2$は合成数\\
同様に$n=3m-1$のときは\\
$n^2+2=(n+1)(n-1)+3=3((3m-2)m+1)$\\
となり$m\ge2$より$3m-2\ge1$かつ$m \ge 2$だから$(3m-2)m+1>1$より\\
$n^2+2$は合成数\\
\\
以上より、$n$を$3$より大きな整数とすると、$n$または$n^2+2$は合成数となる。\\
よって、$2$以上の自然数$n$について$n$と$n^2+2$がともに素数となるのは$n=3$の場合に限る。\\
\\
証明終了
\end{document}
