%2007/05/04 05:39
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　2007年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
問１.
$A=\begin{pmatrix}2 & 4\\-1 & -1\end{pmatrix}$
，
$E=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$
とするとき，
$A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E$を求めよ．\\
問２. 四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える．点Pは時刻0では頂点Oにあり，1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する．\\

\textgt{規則}：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに，等しい確率で移動する．\\
このとき，$n$秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
問１.\\
ケーリー・ハミルトンの定理$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$より\\
$(a+d)=1$,$(ad-bc)=2$なので\\
$A^2=A-2E$\\
$V=A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E$すると\\
$A^3=A(A^2)=A(A-2E)=A^2-2A=A-2E-2A=-A-2E$\\
$A^4=A(A^3)=A(-A-2E)=-A^2-2A=-A+2E-2A=-3A+2E$\\
$A^5=A(A^4)=A(-3A+2E)=-3A^2+2A=-3(A-2E)+2A=-A+6E$\\
$A^6=A(A^5)=A(-A+6E)=-A^2+6A=-A+2E+6A=5A+2E$\\
以上より\\
\begin{eqnarray*}
V&=&5A+2E+2(-3A+2E)+2(-A-2E)+2(A-2E)+2A+3E\\
&=&5A+2E-6A+4E-2A-4E+2A-4E+2A+3E\\
&=&5A-6A-2A+2A+2A+2E+4E-4E-4E+3E\\
&=&A+E\\
\end{eqnarray*}
よって、$V=A+E$\\
$A=\begin{pmatrix}2 & 4\\-1 & -1\end{pmatrix}$より、\\
$V=A+E = \begin{pmatrix}2 & 4\\-1 & -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}3 & 4\\-1 & 0\end{pmatrix}$\\
以上より
$A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3E=\begin{pmatrix}3 & 4\\-1 & 0\end{pmatrix}$\\
\\
問２.\\
$n$秒後に点Oにある確率を$P_n$とする。\\
定義より$P_0 = 1$\\
また、１秒後は直前の時刻0に点Oにあったので必ず移動するという条件から、１秒後の確率$P_1=0$\\
ある時刻$n$に点Oにいたとき時刻$n+1$に点Oにいる確率は、$0$\\
点Oは他の頂点と必ず辺で結ばれているおり、O以外の頂点は底面の隣り合う点２個と点Oの合計３個の点と辺で結ばれているため、ある時刻$n$に点O以外の点にあったとき、時刻$n+1$に点Oにいる確率は、移動する先の点が３個であり、それぞれ同確率で移動するので$\dfrac{1}{3}$\\
時刻$n$に点Oにいる確率を$P_n$としているので、時刻$n$に点Oにいない確率は$1-P_n$\\

以上より、$P_{n+1}=0P_n+\dfrac{1}{3}(1-P_n)=\dfrac{1}{3}(1-P_n)$\\
従って、$P_{n+1}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{3}(P_n-\dfrac{1}{4})$\\
$S_n=P_n-\dfrac{1}{4}$とすると\\
$S_0=P_0-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$\\
$S_1=P_1-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$\\
$S_n$は公比$-\dfrac{1}{3}$の等比数列なので\\
$S_n=-\dfrac{1}{4}(-\dfrac{1}{3})^{n-1}$\\
よって$P_n=S_n+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}(-\dfrac{1}{3})^{n-1}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1-(-\dfrac{1}{3})^{n-1}}{4}$\\
以上より、時刻$n$に点Oにある確率は$\dfrac{1-(-\dfrac{1}{3})^{n-1}}{4}$\\

証明終了
\end{document}
